Równania stanu – sposób na reprezentację modelu matematycznego układu dynamicznego (zwłaszcza układu automatycznej regulacji). Znajomość stanu układu daje bardzo wiele, ale jeszcze więcej wiemy o układzie, gdy znamy związki zmiennej stanu z innymi ważnymi zmiennymi. Dlatego w opisie układu (w jego modelu matematycznym) kluczową rolę odgrywa związek rządzący zachowaniem się zmiennej stanu, czyli równania stanu. Opis układu za pomocą równań stanu nazywany jest też czasami opisem w przestrzeni stanów lub modelem zmiennych stanu.

Sformułowanie równań stanu

Szeroką klasę układów dynamicznych, których miarą zmiany procesu w czasie jest pochodna wektora stanu, a stan procesu dla ${\displaystyle t\geqslant t_{0}}$ zależy tylko od stanu w chwili początkowej ${\displaystyle t_{0}}$ oraz od wymuszenia ${\displaystyle \mathbf {u} (t)}$ dla ${\displaystyle t\geqslant t_{0},}$ można opisać równaniem ${\displaystyle \mathbf {\dot {x}} (t)=\mathbf {f} (t,\mathbf {x} (t),\mathbf {u} (t))}$ z warunkiem początkowym ${\displaystyle \mathbf {x} (t_{0})=\mathbf {x} _{0}.}$ Jest to tak zwane równanie stanu.

Zwykle nie wszystkie zmienne stanu są dostępne (bezpośrednio mierzalne), czyli wektor stanu ${\displaystyle \mathbf {x} (t)}$ nie jest zarazem wektorem odpowiedzi układu. Do pełnego opisu potrzebne jest jeszcze równanie wiążące ${\displaystyle \mathbf {y} (t)}$ z ${\displaystyle \mathbf {x} (t)}$ i z wektorem wymuszenia ${\displaystyle \mathbf {u} (t)}$ o postaci: ${\displaystyle \mathbf {y} (t)=\mathbf {g} (t,\mathbf {x} (t),\mathbf {u} (t)).}$ Równanie to nazywamy równaniem wyjścia układu. Równanie wyjścia jest równaniem algebraicznym i dlatego nie zawiera się w nim opis dynamiki układu.

W ten sposób otrzymaliśmy równania stanu, czyli równania różniczkowe pierwszego rzędu, które stanowią matematyczny model układu fizycznego określonego przez powiązane między sobą:

• zmienne: wejściowe ${\displaystyle \mathbf {u} (t)\in \mathbb {R} ^{m},}$ wyjściowe ${\displaystyle \mathbf {y} (t)\in \mathbb {R} ^{p}}$ i zmienne stanu ${\displaystyle \mathbf {x} (t)\in \mathbb {R} ^{n}}$ oraz
• macierz stanu ${\displaystyle \mathbf {A} \in \mathbb {R} ^{qn},}$ macierz wyjść ${\displaystyle \mathbf {C} \in \mathbb {R} ^{pn},}$ macierz wejść ${\displaystyle \mathbf {B} \in \mathbb {R} ^{qm}}$ oraz macierz przenoszenia ${\displaystyle \mathbf {D} \in \mathbb {R} ^{pm}}$ (macierz przenoszenia ${\displaystyle \mathbf {D} }$ zwana też macierzą sterowania bezpośredniego pojawia się w równaniach stanu tylko dla układów właściwych – to znaczy mających transmitancję właściwą; dla układów ściśle właściwych – to znaczy mających transmitancję ściśle właściwą – macierz ${\displaystyle \mathbf {D} }$ nie występuje w równaniach stanu).

Schemat blokowy równań stanu dla układu ciągłego. Człon całkujący (integrator) zachowuje się jak element magazynujący (zob. stan układu)

Związek ten w przypadku modelu dla układu liniowego, ciągłego, stacjonarnego, o wielu wejściach i wielu wyjściach, deterministycznego, o parametrach stałych, można zapisać w postaci:

${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)=\mathbf {Ax} (t)+\mathbf {Bu} (t)}$

${\displaystyle \mathbf {y} (t)=\mathbf {Cx} (t)+\mathbf {Du} (t)}$

(jak już wyżej wskazano, drugie z powyższych równań nazywa się równaniem wyjścia), gdzie

${\displaystyle \dim[A]=n\times n}$

${\displaystyle \dim[B]=n\times m}$

${\displaystyle \dim[C]=p\times n}$

${\displaystyle \dim[D]=p\times m}$

${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)={\frac {d\mathbf {x} (t)}{dt}}.}$

Dla przypadku braku wymuszeń zewnętrznych ${\displaystyle \mathbf {u} (t)}$ mamy do czynienia z tak zwanym układem swobodnym (opisanym jednorodnym równaniem stanu). W przypadku gdy takie wymuszenia pojawiają się w równaniu stanu, nazywane jest ono też czasami niejednorodnym równaniem stanu.

Dla przypadku układu o jednym wejściu ${\displaystyle u(t)}$ i jednym wyjściu ${\displaystyle y(t),}$ podane powyżej równania stanu przybierają postać:

${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)=\mathbf {Ax} (t)+\mathbf {b} u(t),}$

${\displaystyle y(t)=\mathbf {c^{T}x} (t)+du(t),}$

gdzie ${\displaystyle \mathbf {b} ,\mathbf {c} }$ są odpowiednimi wektorami, a ${\displaystyle d}$ jest czynnikiem skalarnym.

Dla przypadku układu niestacjonarnego, podane na wstępie równania stanu przybierają postać:

${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)=\mathbf {A} (t)\mathbf {x} (t)+\mathbf {B} (t)\mathbf {u} (t),}$

${\displaystyle \mathbf {y} (t)=\mathbf {C} (t)\mathbf {x} (t)+\mathbf {D} (t)\mathbf {u} (t).}$

Dla przypadku układu nieliniowego, podane na wstępie równania stanu przybierają postać:

${\displaystyle \mathbf {\dot {x}} (t)=\mathbf {f} (t,\mathbf {x} (t),\mathbf {u} (t)),}$

${\displaystyle \mathbf {y} (t)=\mathbf {g} (t,\mathbf {x} (t),\mathbf {u} (t)),}$

gdzie ${\displaystyle \mathbf {f} }$ i ${\displaystyle \mathbf {g} }$ są funkcjami nieliniowymi. Jeśli funkcja ${\displaystyle \mathbf {f} (\cdot ,\cdot ,\cdot )}$ jest liniową kombinacja stanów i wejść, to równania te można zapisać w notacji macierzowej jak w zapisach wyżej.

Dla przypadku układu stochastycznego, podane na wstępie równania stanu przybierają postać:

${\displaystyle \mathbf {\dot {x}} (t)=\mathbf {Ax} (t)+\mathbf {Bu} (t)+\mathbf {v} (t),}$

${\displaystyle \mathbf {y} (t)=\mathbf {Cx} (t)+\mathbf {Du} (t)+\mathbf {w} (t),}$

gdzie dodatkowo ujęte zostały wektory zakłóceń stochastycznych (wektory szumu): ${\displaystyle \mathbf {v} (t)}$ – wektor szumu przetwarzania, ${\displaystyle \mathbf {w} (t)}$ – wektor szumu pomiarowego.

Schemat blokowy równań stanu dla układu dyskretnego. Jednokrokowy operator opóźnienia ${\displaystyle z^{-1}}$ wskazuje, że mamy do czynienia z członem opóźniającym.

Dla przypadku modelu dyskretnego (z czasem dyskretnym), podane na wstępie równania stanu przybierają postać:

${\displaystyle \mathbf {x} (n+1)=\mathbf {Ax} (n)+\mathbf {Bu} (n),}$

${\displaystyle \mathbf {y} (n)=\mathbf {Cx} (n)+\mathbf {Du} (n),}$

gdzie: ${\displaystyle n=\ldots ,-1,0,1,2,\dots }$ oznacza dyskretną chwilę czasu.

W przypadku tzw. układów uogólnionych, podane na wstępie równania stanu (zwane też w tym kontekście równaniami stanu układu normalnego) mają postać uogólnioną:

${\displaystyle \mathbf {E} {\dot {\mathbf {x} }}(t)=\mathbf {Ax} (t)+\mathbf {Bu} (t),}$

${\displaystyle \mathbf {y} (t)=\mathbf {Cx} (t)+\mathbf {Du} (t),}$

gdzie ${\displaystyle \mathbf {E} }$ jest macierzą o elementach rzeczywistych (tzn. ${\displaystyle \mathbf {E} \in \mathbb {R} ^{pm}}$) a ${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)}$ jest tu tzw. semiwektorem stanu (deskryptorem). Cechą układu uogólnionego jest to, że macierz ${\displaystyle \mathbf {E} }$ może nie mieć pełnego rzędu, to znaczy rząd ${\displaystyle \mathbf {E} }$ = ${\displaystyle r\leqslant min(q,n).}$

Układ uogólniony nazywany jest układem singularnym, jeśli rząd ${\displaystyle \mathbf {E} =r<n.}$ W przypadku szczególnym, gdy ${\displaystyle q=n}$ wyżej podany układ uogólniony jest singularny, jeżeli ${\displaystyle \det \mathbf {E} =0}$ (tzn. ${\displaystyle \mathbf {E} }$ jest macierzą osobliwą).

Rozwiązanie równań stanu

Dla równań przedstawionych na wstępie rozwiązanie ogólne dane jest równaniem (jest to tak zwany wzór Cauchy-Bellmana):

${\displaystyle \mathbf {x} (t)=\mathbf {\Phi } (t,t_{0})\mathbf {x} (t_{0})+\int _{t_{0}}^{t}\mathbf {\Phi } (t,\tau )\mathbf {B} (\tau )\mathbf {u} (\tau )d\tau ,}$

gdzie ${\displaystyle \mathbf {\Phi } (t,\tau )}$ jest macierzą przejścia.

Niejednoznaczność opisu równaniami stanu

W przeciwieństwie do opisu typu wejście-wyjście (w postaci odpowiedniego równania różniczkowego, transmitancji lub całki splotowej) opis równaniami stanu nie jest jednoznaczny. Oznacza to, że:

• różnym postaciom opisu w przestrzeni stanów może odpowiadać jeden opis transmitancyjny, a z drugiej strony
• dla danej transmitancji istnieje nieskończenie wiele opisów w przestrzeni stanów (tym niemniej spośród różnych możliwych sposobów wyboru zmiennych stanu kilka jest szczególnie ciekawych).

Wprowadzenie przekształcenia nieosobliwego zmiennych stanu (to znaczy takiej zmiany współrzędnych w przestrzeni stanów, że przejście od jednych współrzędnych do drugich jest wzajemnie jednoznaczne) spowoduje, że ten sam układ będzie mógł być opisany innymi zmiennymi stanu i równaniami o innej postaci – przy zachowaniu tych samych własności.

Przekształcenie współrzędnych w przypadku układu liniowego oznacza, że współrzędne stanu ${\displaystyle x}$ są kombinacjami liniowymi nowych współrzędnych z (i na odwrót), np:

${\displaystyle x_{1}=p_{11}z_{1}+p_{12}z_{2}+\ldots +p_{1n}z_{n}}$

${\displaystyle x_{2}=p_{21}z_{1}+p_{22}z_{2}+\ldots +p_{2n}z_{n}}$

${\displaystyle \vdots }$

${\displaystyle x_{n}=p_{n1}z_{1}+p_{n2}z_{2}+\ldots +p_{nn}z_{n}}$

Nieosobliwość przekształcenia oznacza, że wyznacznik macierzy przekształcenia ${\displaystyle \mathbf {P} =[p_{ij}]}$ jest różny od zera, co zapewni jednoznaczność zamiany zmiennych ${\displaystyle x}$ na ${\displaystyle z}$ i na odwrót.

Równania można zapisać w skrócie jako ${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {P} \mathbf {z} }$ lub ${\displaystyle \mathbf {z} =P^{-1}\mathbf {x} .}$ Zastępując w poprzednich równaniach wektor stanu ${\displaystyle \mathbf {x} }$ przez ${\displaystyle \mathbf {P} \mathbf {z} ,}$ otrzymuje się nowe równania:

${\displaystyle {\frac {dz}{dt}}=P^{-1}\mathbf {A} \mathbf {P} \mathbf {z} +P^{-1}\mathbf {B} u,}$

${\displaystyle \mathbf {y} =\mathbf {CPz} +du.}$

Przy użyciu nowych zmiennych stanu ${\displaystyle \mathbf {z} }$ otrzymuje się równania podobnej postaci, przy czym w miejscu macierzy ${\displaystyle \mathbf {A} }$ pojawia się macierz ${\displaystyle P^{-1}\mathbf {AP} ,}$ zamiast wektora ${\displaystyle \mathbf {B} }$ – wektor ${\displaystyle P^{-1}\mathbf {B} ,}$ zamiast wektora ${\displaystyle \mathbf {C} }$ – wektor ${\displaystyle \mathbf {CP} .}$

Najważniejsze jest spostrzeżenie, że macierz ${\displaystyle \mathbf {B} }$ charakteryzuje cecha podobieństwa do macierzy ${\displaystyle \mathbf {A} .}$ Przesądza to o identyczności właściwości dynamicznych układu niezależnie od wyboru współrzędnych stanu.

Nieosobliwe przekształcenie współrzędnych stanu nie zmienia więc zasadniczych właściwości układu. Właściwości te są w istocie określone przez wartości własne, które są jednoznaczne w odróżnieniu od współrzędnych stanu i macierzy ${\displaystyle A}$ układu.

Pojęciowo jest oczywiste, że właściwości układu nie mogą zależeć od wyboru zmiennych stanu. Istnieje nieskończenie wiele sposobów wyboru zmiennych stanu.

Powiązanie równań stanu z transmitancją

Alternatywnym do równań stanu sposobem opisu układu dynamicznego (aczkolwiek zakładającym zerowy stan początkowy) jest transmitancja.

W przypadku układu o jednym wejściu i jednym wyjściu macierze stanu łączy z transmitancją następująca zależność:

${\displaystyle G(s)=\mathbf {C} (sI-\mathbf {A} )^{-1}\mathbf {B} +D.}$

Typowy model w przestrzeni stanów dla układu opisanego macierzami A, B, C, D

Istnieje nieskończenie wiele kombinacji macierzy A, B, C reprezentujących daną transmitancję G. Dla układu rzędu n = 2 macierze stanu można opisać następująco:

${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}/\alpha \\a_{21}\alpha &a_{22}\end{bmatrix}},}$

${\displaystyle \mathbf {B} ={\begin{bmatrix}b_{11}\\b_{21}\alpha \end{bmatrix}},}$

${\displaystyle \mathbf {C} ={\begin{bmatrix}c_{11}&c_{12}/\alpha \end{bmatrix}},}$

gdzie ${\displaystyle \alpha }$ jest dowolną liczbą rzeczywistą różną od 0.

W przypadku układu o wielu wejściach i wielu wyjściach w miejsce wspomnianej wyżej transmitancji określa się tak zwaną macierz transmitancji ${\displaystyle \mathbf {G} (s).}$ Wówczas wyżej podana zależność przybiera postać:

${\displaystyle \mathbf {G} (s)=\mathbf {C} (s\mathbf {I} -\mathbf {A} )^{-1}\mathbf {B} +\mathbf {D} .}$

(wytłuszczenia symboli we wzorach wskazują na to, że chodzi o wektory, a nie o wartości skalarne).

Równania dla układów ze sprzężeniem zwrotnym

Sprzężenie zwrotne od wyjścia

Typowy model w przestrzeni stanu dla układu ze sprzężeniem zwrotnym od wyjścia

W przypadku sprzężenia zwrotnego od wyjścia, wyjście mnożone jest przez macierz ${\displaystyle K}$ i podawane jest na wejście systemu:

${\displaystyle \mathbf {u} (t)=-K\mathbf {y} (t).}$

Ponieważ wartości ${\displaystyle K}$ nie są ograniczone, można je w prosty sposób zanegować dla ujemnego sprzężenia zwrotnego. Obecność znaku minus (zwykle spotykana w notacji) ma charakter jedynie notacyjny – jego nieobecność nie ma wpływu na wyniki końcowe obliczeń. Wówczas równania:

${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)=A\mathbf {x} (t)+B\mathbf {u} (t),}$

${\displaystyle \mathbf {y} (t)=C\mathbf {x} (t)+D\mathbf {u} (t)}$

można zapisać:

${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)=A\mathbf {x} (t)-BK\mathbf {y} (t),}$

${\displaystyle \mathbf {y} (t)=C\mathbf {x} (t)-DK\mathbf {y} (t).}$

Przekształcając równanie wyjścia dla ${\displaystyle \mathbf {y} (t)}$ i dokonując podstawienia w równaniu stanu, otrzymujemy:

${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)=\left(A+BK\left(I-DK\right)^{-1}C\right)\mathbf {x} (t),}$

${\displaystyle \mathbf {y} (t)=\left(I-DK\right)^{-1}C\mathbf {x} (t).}$

Zaleta powyższego zapisu polega na tym, że na wartości własne macierzy ${\displaystyle A}$ można wpływać poprzez odpowiednie określenie ${\displaystyle K}$ przez dekompozycję własną wyrażenia ${\displaystyle \left(A+BK\left(I-DK\right)^{-1}C\right).}$

Zakłada się przy tym, ze układ zamknięty jest sterowalny lub że niestabilne wartości własne ${\displaystyle A}$ można uczynić stabilnymi poprzez odpowiedni dobór ${\displaystyle K.}$

Często spotyka się uproszczenie dla takiego układu polegające na usunięciu ${\displaystyle D}$ i określeniu ${\displaystyle C}$ jako macierz jednostkową, co redukuje równania do postaci:

${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)=\left(A+BK\right)\mathbf {x} (t),}$

${\displaystyle \mathbf {y} (t)=\mathbf {x} (t).}$

To znów sprowadza niezbędną dekompozycję własną jedynie do wyrażenia ${\displaystyle A+BK.}$

Zobacz też

• model minimalny

Bibliografia

• Tadeusz Kaczorek Teoria sterowania i systemów, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 1993, ISBN 83-01-10936-X.
• Tadeusz Kaczorek, A. Dzieliński, W. Dąbrowski, R. Łopatka, Podstawy teorii sterowania, Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, Warszawa 2005, ISBN 83-204-2967-6.
• AndrzejA. Markowski AndrzejA., JerzyJ. Kostro JerzyJ., AndrzejA. Lewandowski AndrzejA., Automatyka w pytaniach i odpowiedziach, Warszawa: Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, 1979, ISBN 83-204-0110-0, OCLC 830948960 .brak strony (książka)