Polaryzacje s i p

Istnieją dwa zestawy współczynników Fresnela dla dwóch różnych składowych liniowej polaryzacji fali padającej. Są one wystarczające dla każdego problemu, ponieważ dowolny stan polaryzacji można rozdzielić na kombinację dwóch prostopadłych polaryzacji liniowych. Podobnie światło niespolaryzowane (lub „losowo spolaryzowane”) ma jednakową moc w każdej z dwóch polaryzacji liniowych.

Polaryzacja typu ${\displaystyle \mathrm {s} }$ odnosi się do polaryzacji, w której wektor pola elektrycznego fali jest prostopadły do płaszczyzny padania (wektor pola elektrycznego jest w kierunku ${\displaystyle {\boldsymbol {z}}}$ na obrazku poniżej); wtedy pole magnetyczne znajduje się w płaszczyźnie padania. Polaryzacja typu ${\displaystyle \mathrm {p} }$ odnosi się do polaryzacji pola elektrycznego w płaszczyźnie padania (płaszczyzna ${\displaystyle xy}$ poniżej); wtedy pole magnetyczne jest prostopadłe do płaszczyzny padania.

Przypadki szczególne

Prawa sinusa i tangensa Fresnela

W powyżej formule na ${\displaystyle r_{\mathrm {s} },}$ podstawiając ${\displaystyle n_{2}=n_{1}\sin \theta _{\text{i}}/\sin \theta _{\text{t}}}$ (prawo Snelliusa) i mnożąc licznik i mianownik przez ${\displaystyle {\frac {\sin \theta _{\mathrm {t} }}{n_{1}}},}$ otrzymujemy^[10][11]:

${\displaystyle r_{\text{s}}=-{\frac {\sin(\theta _{\text{i}}-\theta _{\text{t}})}{\sin(\theta _{\text{i}}+\theta _{\text{t}})}}.}$

Podobnie dla ${\displaystyle r_{p}}$ otrzymujemy^[12][13]:

${\displaystyle r_{\text{p}}={\frac {\operatorname {tg} (\theta _{\text{i}}-\theta _{\text{t}})}{\operatorname {tg} (\theta _{\text{i}}+\theta _{\text{t}})}}.}$

Powyższe dwie formuły^[14][15][16] są znane jako odpowiednio prawo sinusa Fresnela i prawo tangensa Fresnela^[17]. W padaniu normalnym ostatnie wyrażenie daje dzielenie przez zero, a prawidłowy wynik otrzymuje się w granicy ${\displaystyle \theta _{\mathrm {i} }\to 0.}$

Parametry materiałowe

Aby obliczyć znaczące współczynniki Fresnela, musimy założyć, że medium jest (w przybliżeniu) liniowe i jednorodne. Jeśli ośrodek jest izotropowy, cztery wektory pól ${\displaystyle {\boldsymbol {E}},{\boldsymbol {B}},{\boldsymbol {D}},{\boldsymbol {H}}}$ są powiązane:

${\displaystyle {\boldsymbol {D}}=\epsilon {\boldsymbol {E}}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {B}}=\mu {\boldsymbol {H}}}$

gdzie ${\displaystyle \epsilon }$ i ${\displaystyle \mu }$ są skalarami odpowiednio przenikalnością elektryczną i przenikalnością magnetyczną ośrodka. W próżni mają one odpowiednio wartości ${\displaystyle \epsilon _{0}}$ i ${\displaystyle \mu _{0},}$ stąd definiujemy względną przenikalność elektryczną (lub stałą dielektryczną) ${\displaystyle \epsilon _{\mathrm {r} }=\epsilon /\epsilon _{0}}$ oraz względna przenikalność magnetyczną ${\displaystyle \mu _{r}=\mu /\mu _{0}.}$

W optyce często przyjmuje się, że ośrodek jest niemagnetyczny, wtedy ${\displaystyle \mu _{\mathrm {r} }=1.}$ W przypadku materiałów ferromagnetycznych o częstotliwościach radiowych lub mikrofalowych należy wziąć pod uwagę większe wartości ${\displaystyle \mu _{r}.}$ Jednak w optycznie przezroczystych ośrodkach i w większości materiałów przy częstotliwościach optycznych (z wyjątkiem metamateriałów) ${\displaystyle \mu _{\mathrm {r} }}$ jest bardzo zbliżone do 1; to znaczy ${\displaystyle \mu \approx \mu _{0}.}$

W optyce używa się bezwzględnego współczynnika załamania ${\displaystyle n}$ zdefiniowanego jako stosunek prędkości światła w próżni do prędkości światła w ośrodku. W analizie częściowego odbicia i transmisji interesuje nas impedancja fali elektromagnetycznej ${\displaystyle Z,}$ która jest stosunkiem amplitud natężenia pola elektrycznego ${\displaystyle {\boldsymbol {E}}}$ do natężenia pola magnetycznego ${\displaystyle {\boldsymbol {H}}}$ Potrzeba zatem wyrażenia ${\displaystyle n}$ i ${\displaystyle Z}$ za pomocą ${\displaystyle \epsilon }$ i ${\displaystyle \mu ,}$ a następnie odniesienie ${\displaystyle Z}$ do ${\displaystyle n.}$ Ostatnia relacja ułatwi wyznaczenie współczynników odbicia za pomocą admitancji fali ${\displaystyle Y,}$ która jest odwrotnością impedancji fali ${\displaystyle Z.}$ W przypadku fal płaskich sinusoidalnych (o równomiernym rozkładzie przestrzennym intensywności) impedancja fali nazywana jest impedancją wewnętrzną, a admitancja fali nazywana jest admitancją ośrodka. Dla tego przypadku zostaną wywiedzione współczynniki Fresnela.

Elektromagnetyczne fale płaskie

W jednolitej fali płaskiej sinusoidalnej elektromagnetycznej pole elektryczne ${\displaystyle {\boldsymbol {E}}}$ ma postać:

(1) ${\displaystyle {\boldsymbol {E_{k}}}\mathrm {e} ^{\mathrm {i} ({\boldsymbol {k}}\cdot {\boldsymbol {r}}-\omega t)},}$

gdzie:

• ${\displaystyle {\boldsymbol {E_{k}}}}$ – (stały) zespolony wektor amplitudy pola elektrycznego,
• ${\displaystyle \mathrm {i} }$ – jednostka urojona,
• ${\displaystyle {\boldsymbol {k}}}$ – wektor falowy (którego wartość bezwzględna ${\displaystyle k}$ jest liczbą falową kątową),
• ${\displaystyle {\boldsymbol {r}}}$ – chwilowy wektor pozycji,
• ${\displaystyle \omega }$ – częstotliwość kątowa,
• ${\displaystyle t}$ – czas.

Należy rozumieć, że rzeczywista część tego wyrażenia to pole fizyczne^{[uwaga 2]}. Wartość wyrażenia pozostaje niezmienna, jeśli pozycja ${\displaystyle {\boldsymbol {r}}}$ zmienia się w kierunku prostopadłym do ${\displaystyle {\boldsymbol {k}};}$ stąd ${\displaystyle {\boldsymbol {k}}}$ jest prostopadły do czoła fali.

Aby przesunąć fazę o kąt ${\displaystyle \phi ,}$ zastępujemy ${\displaystyle \omega t}$ przez ${\displaystyle \omega t+\phi ,}$ w wyniku czego pole zespolone jest mnożone przez ${\displaystyle \mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \phi }.}$ Tak więc postęp fazy odpowiada mnożeniu przez liczbę zespoloną z ujemnym argumentem. Staje się to bardziej widoczne, kiedy pole (1) rozłożymy na ${\displaystyle {\boldsymbol {E_{k}}}\mathrm {e} ^{\mathrm {i} ({\boldsymbol {k}}\cdot {\boldsymbol {r}})}\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} (\omega t)}}$ gdzie ostatni czynnik zawiera zależność od czasu. Ten czynnik oznacza również, że różniczkowanie po czasie pola (1) odpowiada mnożeniu przez ${\displaystyle -\mathrm {i} \omega }$^{[uwaga 3]}.

Jeśli ${\displaystyle \nu }$ jest składową ${\displaystyle {\boldsymbol {r}}}$ w kierunku ${\displaystyle {\boldsymbol {k}}}$ to ze względu na iloczyn skalarny tych wektorów, pole (1) można zapisać jako ${\displaystyle {\boldsymbol {E_{k}}}\mathrm {e} ^{\mathrm {i} (k\nu -\omega t)},}$ gdzie liczba falowa ${\displaystyle k=\|{\boldsymbol {k}}\|.}$ Aby argument ${\displaystyle \mathrm {e} ^{\mathrm {i} (...)}}$ był stały, składowa ${\displaystyle \nu }$ musi się zwiększać z czasem ${\displaystyle \omega /k}$ razy i nazywana jest prędkością fazową ${\displaystyle (v_{\mathrm {p} }).}$ Podstawiając za ${\displaystyle \nu }$ prędkość fazową ${\displaystyle v_{\mathrm {p} }=c/n}$ otrzymujemy:

(2) ${\displaystyle k=n\,\omega /c}$

Pozbywamy się czynnika zależnego od czasu ${\displaystyle \mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \omega t},}$ który odtąd należy rozumieć jako mnożnik do każdej wartości zespolonego pola. Pole elektryczne dla jednorodnej płaskiej fali sinusoidalnej będzie wówczas reprezentowane przez wskaz zależny od wektora pozycji

(3) ${\displaystyle {\boldsymbol {E_{k}}}\mathrm {e} ^{\mathrm {i} {\boldsymbol {k}}\cdot {\boldsymbol {r}}},}$

Dla pól tej postaci prawo Faradaya oraz prawo Maxwella-Ampère’a odpowiednio redukują się do^[33]:

${\displaystyle {\begin{aligned}\omega {\boldsymbol {B}}&={\boldsymbol {k}}\times {\boldsymbol {E}}\\\omega {\boldsymbol {D}}&=-{\boldsymbol {k}}\times {\boldsymbol {H}}.\end{aligned}}}$

Podstawiając zależności między polami ${\displaystyle {\boldsymbol {E}},{\boldsymbol {B}},{\boldsymbol {D}},{\boldsymbol {H}}}$ z wyżej, otrzymujemy:

${\displaystyle {\begin{aligned}\omega \mu {\boldsymbol {H}}&={\boldsymbol {k}}\times {\boldsymbol {E}}\\\omega \epsilon {\boldsymbol {E}}&=-{\boldsymbol {k}}\times {\boldsymbol {H}}.\end{aligned}}}$

Jeśli parametry ośrodka optycznego ${\displaystyle \epsilon }$ i ${\displaystyle \mu }$ są rzeczywiste (jak w dielektryku bezstratnym), równania te pokazują, że ${\displaystyle {\boldsymbol {k}},{\boldsymbol {E}},{\boldsymbol {H}}}$ tworzą praworęczny układ prostopadły taki, że te same równania mają zastosowanie dla modułów tych wektorów. Biorąc równania modułów i podstawiając wzór na liczbę falową (2), otrzymujemy

${\displaystyle {\begin{aligned}\mu cH&=nE\\\epsilon cE&=nH,\end{aligned}}}$

gdzie ${\displaystyle H=\|{\boldsymbol {H}}\|}$ i ${\displaystyle E=\|{\boldsymbol {E}}\|.}$

Mnożenie otrzymanych ostatnich obu równań przez siebie daje:

(4) ${\displaystyle n=c{\sqrt {\mu \,\epsilon }},}$

zaś dzielenie tych same dwóch równań przez siebie daje ${\displaystyle H=YE,}$

gdzie ${\displaystyle Y}$ to admitancja wewnętrzna równa:

(5) ${\displaystyle Y={\sqrt {\frac {\epsilon }{\mu }}}.}$

Z (4) otrzymujemy prędkość fazową: ${\displaystyle v_{\mathrm {p} }=c/n=1{\big /}\!{\sqrt {\mu \,\epsilon }}.}$ Dla próżni redukuje się ona do: ${\displaystyle c=1{\big /}\!{\sqrt {\mu _{0}\epsilon _{0}}}.}$ Dzielenie drugiego wyniku przez pierwszy daje ${\displaystyle n={\sqrt {\mu _{\text{r}}\,\epsilon _{\text{r}}}},}$ co w ośrodku niemagnetycznym redukuje się do ${\displaystyle n={\sqrt {\epsilon _{\text{r}}}},}$

(Przyjmując odwrotność (5), stwierdzamy, że impedancja wewnętrzna wynosi ${\displaystyle Z={\sqrt {\mu /\epsilon }};}$ dla umownych parametrów próżni staje się ona impedancją charakterystyczną próżni ${\displaystyle Z_{0}={\sqrt {\mu _{0}/\epsilon _{0}}}\,\approx 377\,\Omega .}$ Dzieląc te impedancje przez siebie otrzymamy ${\displaystyle Z/Z_{0}={\sqrt {\mu _{\text{r}}/\epsilon _{\text{r}}}},}$ co dla ośrodka niemagnetycznego redukuje się do ${\displaystyle Z=Z_{0}{\big /}\!{\sqrt {\epsilon _{\text{r}}}}=Z_{0}/n.}$)

Wektory falowe

Padający, odbity i przepuszczany wektor falowy, odpowiednio ${\displaystyle \mathbf {k} _{\mathrm {i} },}$ ${\displaystyle \mathbf {k} _{\mathrm {r} }}$ i ${\displaystyle \mathbf {k} _{\mathrm {t} },}$ dla padania z ośrodka o współczynniku załamania ${\displaystyle n_{1}}$ do ośrodka o współczynniku załamania ${\displaystyle n_{2}}$

We współrzędnych kartezjańskich ${\displaystyle (x,y,z)}$ niech obszar ${\displaystyle y<0}$ ma współczynnik załamania ${\displaystyle n_{1},}$ admitancję wewnętrzną ${\displaystyle Y_{1}}$ itd. oraz niech obszar ${\displaystyle y>0}$ ma współczynnik załamania ${\displaystyle n_{2},}$ admitancję wewnętrzną ${\displaystyle Y_{2}}$ itd., wtedy płaszczyzna ${\displaystyle xz}$ jest granicą ośrodków optycznych, a oś ${\displaystyle \mathrm {O} y}$ jest normalna dla granicy ośrodków (patrz schemat). Niech ${\displaystyle {\boldsymbol {x^{\circ }}}}$ i ${\displaystyle {\boldsymbol {y^{\circ }}}}$ i oznaczają jednostkowe wektory kierunkowe odpowiednio w kierunkach osi ${\displaystyle \mathrm {O} x}$ i ${\displaystyle \mathrm {O} y.}$ Niech płaszczyzna padania będzie płaszczyzną ${\displaystyle xy}$ (płaszczyzną ilustracji) przy kącie padania ${\displaystyle \theta _{\mathrm {i} }}$ mierzonym od ${\displaystyle {\boldsymbol {y^{\circ }}}}$ w płaszczyźnie ${\displaystyle xy.}$ Niech kątem załamania, mierzonym w ten sam sposób, będzie ${\displaystyle \theta _{\mathrm {t} },}$ a kąt odbicia ${\displaystyle \theta _{\mathrm {r} }.}$

Przy braku efektu Dopplera częstość ${\displaystyle \omega }$ nie zmienia się po odbiciu lub załamaniu. Zatem z (2) moduł wektora falowego jest proporcjonalny do bezwzględnego współczynnika załamania światła danego ośrodka. Dla danego ${\displaystyle \omega ,}$ jeśli zdefiniujemy ${\displaystyle k}$ jako moduł wektora falowego w ośrodku odniesienia (dla którego ${\displaystyle n=1}$), wtedy pierwszy ośrodek (obszar ${\displaystyle y<0}$ na rysunku) ma moduł wektora falowego równy ${\displaystyle n_{1}k,}$ a drugi ośrodek ${\displaystyle n_{2}k.}$ Na podstawie geometrii stwierdzamy, że wektory falowe wynoszą:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {k}}_{\text{i}}&=n_{1}k({\boldsymbol {x^{\circ }}}\sin \theta _{\text{i}}+{\boldsymbol {y^{\circ }}}\cos \theta _{\text{i}}),\\{\boldsymbol {k}}_{\text{r}}&=n_{1}k({\boldsymbol {x^{\circ }}}\sin \theta _{\text{i}}-{\boldsymbol {y^{\circ }}}\cos \theta _{\text{i}}),\\{\boldsymbol {k}}_{\text{t}}&=n_{2}k({\boldsymbol {x^{\circ }}}\sin \theta _{\text{t}}+{\boldsymbol {y^{\circ }}}\cos \theta _{\text{t}})\\&=k({\boldsymbol {x^{\circ }}}n_{1}\sin \theta _{\text{i}}+{\boldsymbol {y^{\circ }}}n_{2}\cos \theta _{\text{t}}),\end{aligned}}}$

gdzie ostatni krok wykorzystuje prawo Snelliusa. Równoważne iloczyny skalarne w postaci wskazowej z (3) wyglądają tak:

(6) ${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {k}}_{\text{i}}\cdot {\boldsymbol {r}}&=n_{1}k(x\sin \theta _{\text{i}}+y\cos \theta _{\text{i}}),\\{\boldsymbol {k}}_{\text{r}}\cdot {\boldsymbol {r}}&=n_{1}k(x\sin \theta _{\text{i}}-y\cos \theta _{\text{i}}),\\{\boldsymbol {k}}_{\text{t}}\cdot {\boldsymbol {r}}&=k(n_{1}x\sin \theta _{\text{i}}+n_{2}y\cos \theta _{\text{t}}).\end{aligned}}}$

Stąd, przy

(7) ${\displaystyle y=0,\quad {\boldsymbol {k}}_{\text{i}}\cdot {\boldsymbol {r}}={\boldsymbol {k}}_{\text{r}}\cdot {\boldsymbol {r}}={\boldsymbol {k}}_{\text{t}}\cdot {\boldsymbol {r}}=n_{1}kx\sin \theta _{\text{i}}}$

Składowe polaryzacji s

Dla polaryzacji ${\displaystyle \mathrm {s} ,}$ wektor pola ${\displaystyle {\boldsymbol {E}}}$ jest równoległy do osi ${\displaystyle \mathrm {O} z}$ (prostopadłej do płaszczyzny padania); opiszmy składowe w kierunku ${\displaystyle z.}$ Niech współczynniki odbicia i przepuszczania będą odpowiednio ${\displaystyle r_{\mathrm {s} }}$ i ${\displaystyle t_{\mathrm {s} }.}$ Jeśli przyjmiemy, że pole ${\displaystyle {\boldsymbol {E}}}$ promienia padającego ma amplitudę jednostkową, to postać wskazowa (3) jego składowej ${\displaystyle z}$-owej wynosi:

(8) ${\displaystyle E_{\text{i}}={\text{e}}^{{\text{i}}{\boldsymbol {k}}_{\text{i}}{\boldsymbol {r}}},}$

a pola promienia odbitego i przepuszczonego (opatrzone dodatkowo indeksem górnym ${\displaystyle \perp }$), w tej samej postaci wynoszą:

(9) ${\displaystyle {\begin{aligned}E_{\text{r}}^{\perp }&=r_{\text{s}}{\text{e}}^{{\text{i}}{\boldsymbol {k}}_{\text{r}}\cdot {\boldsymbol {r}}}\\E_{\text{t}}^{\perp }&=t_{\text{s}}{\text{e}}^{{\text{i}}{\boldsymbol {k}}_{\text{t}}\cdot {\boldsymbol {r}}}.\end{aligned}}}$

Zgodnie z konwencją znaku w artykule, dodatni współczynnik odbicia lub przepuszczania to taki, który zachowuje kierunek pola poprzecznego, czyli pola prostopadłego do płaszczyzny padania (tu w artykule również do płaszczyzny ilustracji); dla polaryzacji ${\displaystyle s}$ oznacza to zachowanie po odbiciu i przepuszczeniu tego samego znaku wektorów pól ${\displaystyle {\boldsymbol {E}},}$ które znajdują się w kierunku ${\displaystyle z}$ (poza ilustrację w górę lub dół). Gdy padające, odbite i przepuszczane pola ${\displaystyle {\boldsymbol {E}}}$ (w powyższych równaniach) znajdują się w kierunku ${\displaystyle z}$ (poza ilustrację), wówczas odpowiednie pola ${\displaystyle {\boldsymbol {H}}}$ są w kierunkach czerwonych strzałek (czyli w płaszczyźnie ilustracji), gdyż pola ${\displaystyle {\boldsymbol {k}},{\boldsymbol {E}},{\boldsymbol {H}}}$ tworzą praworęczny układ prostopadły. Pola ${\displaystyle {\boldsymbol {H}}}$ promieni (można opisać ich składowymi w kierunkach strzałek oznaczonych przez ${\displaystyle H_{\mathrm {i} },}$ ${\displaystyle H_{\mathrm {r} },}$ ${\displaystyle H_{\mathrm {t} }}$). Ponieważ ${\displaystyle H=YE}$ możemy zapisać:

(10) ${\displaystyle {\begin{aligned}H_{\text{i}}&=Y_{1}{\text{e}}^{{\text{i}}{\boldsymbol {k}}_{\text{i}}\cdot {\boldsymbol {r}}}\\H_{\text{r}}^{\perp }&=Y_{1}r_{\text{s}}{\text{e}}^{{\text{i}}{\boldsymbol {k}}_{\text{r}}\cdot {\boldsymbol {r}}}\\H_{\text{t}}^{\perp }&=Y_{2}t_{\text{s}}{\text{e}}^{{\text{i}}{\boldsymbol {k}}_{\text{t}}\cdot {\boldsymbol {r}}}.\end{aligned}}}$

Zgodnie ze zwykłymi warunkami pól elektromagnetycznych na styku dwóch ośrodków, składowe styczne do granicy pól ${\displaystyle {\boldsymbol {E}}}$ i ${\displaystyle {\boldsymbol {H}}}$ muszą być ciągłe; to jest:

(11) ${\displaystyle \left.{\begin{aligned}E_{\text{i}}+E_{\text{r}}^{\perp }&=E_{\text{t}}^{\perp }\\H_{\text{i}}\cos \theta _{\text{i}}-H_{\text{r}}^{\perp }\cos \theta _{\text{i}}&=H_{\text{t}}^{\perp }\cos \theta _{\text{t}}\end{aligned}}~~\right\}~~~{\text{at}}~~y=0}$

Gdy podstawieniu równania (8), (9), (10), a następnie z (7), czynniki wykładnicze znikają, tak że wymienione warunki styku redukują się do równoważnych równań:

(12) ${\displaystyle {\begin{aligned}1+r_{\text{s}}&=t_{\text{s}}\\Y_{1}\cos \theta _{\text{i}}-Y_{1}r_{\text{s}}\cos \theta _{\text{i}}&=Y_{2}t_{\text{s}}\cos \theta _{\text{t}},\end{aligned}}}$

z którego można wyciągnąć ${\displaystyle r_{s}}$ i ${\displaystyle r_{t}{:}}$

(13) ${\displaystyle r_{\text{s}}={\frac {Y_{1}\cos \theta _{\text{i}}-Y_{2}\cos \theta _{\text{t}}}{Y_{1}\cos \theta _{\text{i}}+Y_{2}\cos \theta _{\text{t}}}}}$

i

(14) ${\displaystyle t_{\text{s}}={\frac {2Y_{1}\cos \theta _{\text{i}}}{Y_{1}\cos \theta _{\text{i}}+Y_{2}\cos \theta _{\text{t}}}}.}$

Przy padaniu normalnym ${\displaystyle \theta _{\mathrm {i} }=\theta _{\mathrm {t} }=0}$ otrzymujemy wynik (opatrzony dodatkowym indeksem dolnym 0):

(15) ${\displaystyle r_{\text{s0}}={\frac {Y_{1}-Y_{2}}{Y_{1}+Y_{2}}}}$

i

(16) ${\displaystyle t_{\text{s0}}={\frac {2Y_{1}}{Y_{1}+Y_{2}}}.}$

Przy padaniu muśnięciem ${\displaystyle (\theta _{\mathrm {i} }\to 90^{\circ })}$ mamy ${\displaystyle \cos \theta _{\mathrm {i} }\to 0}$ stąd ${\displaystyle r_{\mathrm {s} }\to -1}$ i ${\displaystyle t_{\mathrm {s} }\to 0.}$

Składowe polaryzacji p

W przypadku polaryzacji ${\displaystyle \mathrm {p} }$ padające, odbite i przepuszczane pola ${\displaystyle {\boldsymbol {E}}}$ są równoległe do czerwonych strzałek i dlatego mogą być opisane przez ich składowe w kierunkach tych strzałek. Niech te elementy będą oznaczone ${\displaystyle E_{\text{r}}^{\|},E_{\text{t}}^{\|}.}$ Niech współczynnikami odbicia i przepuszczania będą ${\displaystyle r_{\mathrm {p} }}$ i ${\displaystyle t_{\mathrm {p} }.}$ Wtedy, jeśli przyjmiemy, że pole ${\displaystyle {\boldsymbol {E}}}$ padające ma amplitudę jednostkową, otrzymamy:

(17) ${\displaystyle {\begin{aligned}E_{\text{i}}&={\text{e}}^{{\text{i}}{\boldsymbol {k}}_{\text{i}}\cdot {\boldsymbol {r}}}\\E_{\text{r}}^{\|}&=r_{\text{p}}{\text{e}}^{{\text{i}}{\boldsymbol {k}}_{\text{r}}\cdot {\boldsymbol {r}}}\\E_{\text{t}}^{\|}&=t_{\text{p}}{\text{e}}^{{\text{i}}{\boldsymbol {k}}_{\text{t}}\cdot {\boldsymbol {r}}}.\end{aligned}}}$

Jeśli pola ${\displaystyle {\boldsymbol {E}}}$ są w kierunku czerwonych strzałek, to aby ${\displaystyle {\boldsymbol {k}},{\boldsymbol {E}},{\boldsymbol {H}}}$ utworzyły praworęczny układ ortogonalny, odpowiednie pola ${\displaystyle {\boldsymbol {H}}}$ muszą znajdować się w kierunku ${\displaystyle -z}$ (pod ilustrację) i mogą zostać opisane przez ich składowe w tym kierunku. Jest to zgodne z przyjętą konwencją znaku, a mianowicie, że dodatni współczynnik odbicia lub przepuszczania to taki, który zachowuje kierunek pola poprzecznego (w polaryzacji ${\displaystyle p}$ zostanie zachowany kierunek wektorów pól ${\displaystyle {\boldsymbol {H}}}$). Alternatywną definicję konwencji znaku jest, że dodatni współczynnik odbicia lub przepuszczania to taki, dla którego wektor pola w płaszczyźnie padania wskazuje na to samo medium przed i po odbiciu lub przepuszczeniu^[34].

Dla padającego, odbitego i przepuszczanego pola ${\displaystyle {\boldsymbol {H}},}$ niech odpowiednie składowe w kierunku ${\displaystyle -z}$ będą ${\displaystyle H_{\mathrm {i} },}$ ${\displaystyle H_{\mathrm {r} },}$ ${\displaystyle H_{\mathrm {t} }.}$ Wtedy, ponieważ ${\displaystyle H=YE}$ otrzymujemy:

(18) ${\displaystyle {\begin{aligned}H_{\text{i}}&=Y_{1}{\text{e}}^{{\text{i}}{\boldsymbol {k}}_{\text{i}}\cdot {\boldsymbol {r}}}\\H_{\text{r}}^{\|}&=Y_{1}r_{\text{p}}{\text{e}}^{{\text{i}}{\boldsymbol {k}}_{\text{r}}\cdot {\boldsymbol {r}}}\\H_{\text{t}}^{\|}&=Y_{2}t_{\text{p}}{\text{e}}^{{\text{i}}{\boldsymbol {k}}_{\text{t}}\cdot {\boldsymbol {r}}}.\end{aligned}}}$

Na styku ośrodków składowe styczne pól ${\displaystyle {\boldsymbol {E}}}$ i ${\displaystyle {\boldsymbol {H}}}$ muszą być ciągłe, tj.:

(19) ${\displaystyle \left.{\begin{aligned}E_{\text{i}}\cos \theta _{\text{i}}-E_{\text{r}}^{\|}\cos \theta _{\text{i}}&=E_{\text{t}}^{\|}\cos \theta _{\text{t}}\\H_{\text{i}}+H_{\text{r}}^{\|}&=H_{\text{t}}^{\|}\end{aligned}}~~\right\}~~~{\text{at}}~~y=0}$

Kiedy podstawimy wyrażenia równań (17) i (18), a następnie z (7), czynniki wykładnicze ponownie się znoszą, tak że warunki styku redukują się do:

(20) ${\displaystyle {\begin{aligned}\cos \theta _{\text{i}}-r_{\text{p}}\cos \theta _{\text{i}}&=t_{\text{p}}\cos \theta _{\text{t}}\\Y_{1}+Y_{1}r_{\text{p}}&=Y_{2}t_{\text{p}}.\end{aligned}}}$

Znajdujemy ${\displaystyle r_{\mathrm {p} }}$ i ${\displaystyle t_{\mathrm {p} }{:}}$

(21) ${\displaystyle r_{\text{p}}={\frac {Y_{2}\cos \theta _{\text{i}}-Y_{1}\cos \theta _{\text{t}}}{Y_{2}\cos \theta _{\text{i}}+Y_{1}\cos \theta _{\text{t}}}}}$

i

(22) ${\displaystyle t_{\text{p}}={\frac {2Y_{1}\cos \theta _{\text{i}}}{Y_{2}\cos \theta _{\text{i}}+Y_{1}\cos \theta _{\text{t}}}}.}$

Przy padaniu normalnym ${\displaystyle (\theta _{\mathrm {i} }=\theta _{\mathrm {t} }=0)}$ otrzymujemy wyniki (dodatkowo oznaczone indeksem dolnym 0):

(23) ${\displaystyle r_{\text{p0}}={\frac {Y_{2}-Y_{1}}{Y_{2}+Y_{1}}}}$

i

(24) ${\displaystyle t_{\text{p0}}={\frac {2Y_{1}}{Y_{2}+Y_{1}}}.}$

Na padaniu muśnięciem ${\displaystyle (\theta _{\mathrm {i} }\to 90^{\circ }),}$ znowu mamy ${\displaystyle \cos \theta _{\mathrm {i} }\to 0}$ stąd ${\displaystyle r_{\mathrm {p} }\to -1}$ i ${\displaystyle t_{\mathrm {p} }\to 0.}$

Porównując (23) i (24) z (15) i (16), widzimy, że przy padaniu normalnym, zgodnie z przyjętą konwencją znaku, współczynniki przepuszczania dla dwóch polaryzacji są równe, podczas gdy współczynniki odbicia mają równe wielkości, ale przeciwne znaki. Dla odmiany, zaletą konwencji znaku jest to, że znaki zgadzają się przy padaniu muśnięciem.

Współczynniki odbicia i przepuszczania mocy

Wektor Poyntinga fali jest wektorem, którego składową w dowolnym kierunku jest natężenie napromienienia (moc na jednostkę powierzchni) tej fali na powierzchni prostopadłej do tego w/w kierunku. Dla płaskiej fali sinusoidalnej wektor Poyntinga wynosi ${\displaystyle {\frac {1}{2}}\Re \{{\boldsymbol {E}}\times {\boldsymbol {H}}^{*}\},}$ gdzie ${\displaystyle {\boldsymbol {E}}}$ i ${\displaystyle {\boldsymbol {H}}}$ dotyczą tylko danej fali, a gwiazdka oznacza sprzężenie zespolone. W bezstratnym dielektryku wektory ${\displaystyle {\boldsymbol {E}}}$ i ${\displaystyle {\boldsymbol {H}}}$ znajdują się (przeważnie) w tej samej fazie i pod kątem prostym do siebie i do wektora falowego ${\displaystyle {\boldsymbol {k}};}$ zatem, dla polaryzacji ${\displaystyle \mathrm {s} ,}$ za użyciem składowych ${\displaystyle z}$ i ${\displaystyle xy}$ z wektorów odpowiednio ${\displaystyle {\boldsymbol {E}}}$ i ${\displaystyle {\boldsymbol {H}}}$ (lub dla polaryzacji ${\displaystyle \mathrm {p} ,}$ za użyciem składowych ${\displaystyle xy}$ i ${\displaystyle -z}$ z wektorów odpowiednio ${\displaystyle {\boldsymbol {E}}}$ i ${\displaystyle {\boldsymbol {H}}}$), natężenie napromienienia w kierunku ${\displaystyle {\boldsymbol {k}}}$ jest dane jako ${\displaystyle {\frac {EH}{2}}}$ albo ${\displaystyle {\frac {E^{2}}{2Z}}}$ w ośrodku o impedancji wewnętrznej ${\displaystyle Z=1/Y.}$ W celu obliczenia natężenie napromienienia w kierunku normalnym do granicy ośrodka, czego potrzebujemy w definicji współczynnika przepuszczania mocy, moglibyśmy użyć tylko składowej ${\displaystyle x}$ (zamiast składowej ${\displaystyle xy}$) z wektorów ${\displaystyle {\boldsymbol {H}}}$ lub ${\displaystyle {\boldsymbol {E}},}$ albo równoważnie, po prostu pomnożyć ${\displaystyle {\frac {EH}{2}}}$ przez odpowiedni współczynnik geometryczny otrzymując ${\displaystyle {\frac {E^{2}}{2Z}}\cos \theta .}$

Na podstawie równań (13) i (21), biorąc kwadraty modułów znajdujemy, że współczynnik odbicia (stosunek mocy odbitej do mocy padającej) wynosi dla polaryzacji ${\displaystyle \mathrm {s} {:}}$

(25R) ${\displaystyle R_{\text{s}}=\left|{\frac {Y_{1}\cos \theta _{\text{i}}-Y_{2}\cos \theta _{\text{t}}}{Y_{1}\cos \theta _{\text{i}}+Y_{2}\cos \theta _{\text{t}}}}\right|^{2}}$

oraz dla polaryzacji ${\displaystyle p}$ wynosi:

(26R) ${\displaystyle R_{\text{p}}=\left|{\frac {Y_{2}\cos \theta _{\text{i}}-Y_{1}\cos \theta _{\text{t}}}{Y_{2}\cos \theta _{\text{i}}+Y_{1}\cos \theta _{\text{t}}}}\right|^{2}.}$

Porównując moc dwóch takich fal w tym samym ośrodku i z tym samym ${\displaystyle \cos \theta ,}$ zauważamy, że impedancja i czynniki geometryczne wymienione powyżej są identyczne i znoszą się. Jednakże przy obliczaniu współczynnika przepuszczania mocy (poniżej) należy je wziąć pod uwagę.

Najprostszym sposobem uzyskania współczynnika przepuszczania mocy (stosunek mocy przepuszczonej do mocy padającej w kierunku normalnym do granicy ośrodków, tj. w kierunku ${\displaystyle y}$) jest użycie ${\displaystyle R+T=1}$ (zachowanie energii). W ten sposób znajdujemy dla polaryzacji ${\displaystyle \mathrm {s} {:}}$

(25T) ${\displaystyle T_{\text{s}}=1-R_{\text{s}}={\frac {4\Re \{Y_{1}Y_{2}\cos \theta _{\text{i}}\cos \theta _{\text{t}}\}}{\left|Y_{1}\cos \theta _{\text{i}}+Y_{2}\cos \theta _{\text{t}}\right|^{2}}},}$

a dla polaryzacji ${\displaystyle \mathrm {p} {:}}$

(26T) ${\displaystyle T_{\text{p}}=1-R_{\text{p}}={\frac {4\Re \{Y_{1}Y_{2}\cos \theta _{\text{i}}\cos \theta _{\text{t}}\}}{\left|Y_{2}\cos \theta _{\text{i}}+Y_{1}\cos \theta _{\text{t}}\right|^{2}}}.}$

W przypadku granicy między dwoma bezstratnymi ośrodkami (dla których ${\displaystyle \epsilon }$ i ${\displaystyle \mu }$ są rzeczywiste i dodatnie), można uzyskać te wyniki bezpośrednio przy użyciu kwadratów modułów z amplitudowych współczynników przepuszczania, które znaleźliśmy wcześniej w równaniach (14) i (22). Ale dla danej amplitudy (jak wspomniano powyżej) składnik wektora Poyntinga w kierunku ${\displaystyle y}$ jest proporcjonalny do współczynnika geometrycznego ${\displaystyle \cos \theta }$ i odwrotnie proporcjonalny do impedancji falowej ${\displaystyle Z.}$ Stosując te poprawki do każdej fali, otrzymujemy dwa stosunki pomnożone przez kwadrat amplitudowego współczynnika przepuszczania:

(27) ${\displaystyle T_{\text{s}}=\left({\frac {2Y_{1}\cos \theta _{\text{i}}}{Y_{1}\cos \theta _{\text{i}}+Y_{2}\cos \theta _{\text{t}}}}\right)^{2}{\frac {Y_{2}}{Y_{1}}}\,{\frac {\cos \theta _{\text{t}}}{\cos \theta _{\text{i}}}}={\frac {4Y_{1}Y_{2}\cos \theta _{\text{i}}\cos \theta _{\text{t}}}{\left(Y_{1}\cos \theta _{\text{i}}+Y_{2}\cos \theta _{\text{t}}\right)^{2}}}}$

dla polaryzacji ${\displaystyle s}$ oraz:

(28) ${\displaystyle T_{\text{p}}=\left({\frac {2Y_{1}\cos \theta _{\text{i}}}{Y_{2}\cos \theta _{\text{i}}+Y_{1}\cos \theta _{\text{t}}}}\right)^{2}{\frac {Y_{2}}{Y_{1}}}\,{\frac {\cos \theta _{\text{t}}}{\cos \theta _{\text{i}}}}={\frac {4Y_{1}Y_{2}\cos \theta _{\text{i}}\cos \theta _{\text{t}}}{\left(Y_{2}\cos \theta _{\text{i}}+Y_{1}\cos \theta _{\text{t}}\right)^{2}}}}$

dla polaryzacji ${\displaystyle p.}$ Ostatnie dwa równania odnoszą się tylko do bezstratnych dielektryków i tylko przy kątach padania mniejszych niż kąt graniczny (powyżej którego ${\displaystyle T=0}$).

Równe współczynniki załamania światła

Z równań (4) i (5) widzimy, że dwa różne ośrodki będą miały ten sam współczynnik załamania światła, ale różne admitancje, jeśli stosunek ich przenikalności magnetycznych jest odwrotnością stosunku ich przenikalności elektrycznych. W tej niezwykłej sytuacji mamy ${\displaystyle \theta _{\mathrm {t} }=\theta _{\mathrm {i} }}$ (tj. przepuszczany promień nie jest odchylany), tak że cosinusy w równaniach (13), (14), (21), (22) i (25) do (28) znoszą się, a wszystko współczynniki odbicia i przepuszczania stają się niezależne od kąta padania; innymi słowy, współczynniki padania normalnego można stosować dla wszystkich kątów padania.

Ośrodki niemagnetyczne

Ponieważ równania Fresnela wypracowano dla optyki, zwykle podaje się je dla ośrodków niemagnetycznych. Dzielenie (4) przez (5) daje: ${\displaystyle Y={\frac {n}{c\,\mu }}.}$

Do ośrodków niemagnetycznych można zastąpić przenikalność magnetyczną ośrodka ${\displaystyle \mu }$ przenikalnością magnetyczną próżni ${\displaystyle \mu _{0}}$ następująco:

${\displaystyle Y_{1}={\frac {n_{1}}{c\mu _{0}}};\quad Y_{2}={\frac {n_{2}}{c\mu _{0}}},}$

tzn. admitancje są proporcjonalne do odpowiednich wskaźników załamania. Kiedy dokonamy tych podstawień w równaniach (13) do (16) i równaniach (21) do (26), to znika czynnik ${\displaystyle c\mu _{0}.}$ Dla współczynników amplitudowych otrzymujemy^[5][35]:

(29) ${\displaystyle r_{\text{s}}={\frac {n_{1}\cos \theta _{\text{i}}-n_{2}\cos \theta _{\text{t}}}{n_{1}\cos \theta _{\text{i}}+n_{2}\cos \theta _{\text{t}}}},}$

(30) ${\displaystyle t_{\text{s}}={\frac {2n_{1}\cos \theta _{\text{i}}}{n_{1}\cos \theta _{\text{i}}+n_{2}\cos \theta _{\text{t}}}},}$

(31) ${\displaystyle r_{\text{p}}={\frac {n_{2}\cos \theta _{\text{i}}-n_{1}\cos \theta _{\text{t}}}{n_{2}\cos \theta _{\text{i}}+n_{1}\cos \theta _{\text{t}}}},}$

(32) ${\displaystyle t_{\text{p}}={\frac {2n_{1}\cos \theta _{\text{i}}}{n_{2}\cos \theta _{\text{i}}+n_{1}\cos \theta _{\text{t}}}}.}$

W przypadku normalnego padania redukują się one do:

(33) ${\displaystyle r_{\text{s0}}={\frac {n_{1}-n_{2}}{n_{1}+n_{2}}},}$

(34) ${\displaystyle t_{\text{s0}}={\frac {2n_{1}}{n_{1}+n_{2}}},}$

(35) ${\displaystyle r_{\text{p0}}={\frac {n_{2}-n_{1}}{n_{2}+n_{1}}},}$