Przestrzeń czasowa – dowolny domknięty podzbiór liczb rzeczywistych ${\displaystyle \mathbb {R} }$ oznaczany ${\displaystyle \mathbb {T} .}$ Na przestrzeniach czasowych można rozważać równania Δ-różniczkowe, które są unifikacją równań różniczkowych na ${\displaystyle \mathbb {R} }$ i równań różnicowych na ${\displaystyle \mathbb {Z} ,}$ oraz uogólnieniem na przestrzeniach czasowych.

Funkcje skoku

Podstawowymi funkcjami opisującymi przestrzeń ${\displaystyle \mathbb {T} }$ są funkcje skoku:

${\displaystyle \sigma (t)=\inf\{s\in \mathbb {T} :s>t\}}$ funkcja następnika/funkcja skoku przedniego (forward jump operator),

${\displaystyle \rho (t)=\sup\{s\in \mathbb {T} :s<t\}}$ funkcja poprzednika/funkcja skoku wstecznego (backward jump operator),

${\displaystyle \mu (t)=\sigma (t)-t}$ funkcja ziarnistości (graininess function).

Klasyfikacja punktów

Każdy punkt ${\displaystyle t\in \mathbb {T} }$ ma charakteryzację poprzez funkcje skoku. Punkt ${\displaystyle t}$ jest:

• lewostronnie gęsty (left dense) jeżeli ${\displaystyle \rho (t)=t,}$
• prawostronnie gęsty (right dense) jeżeli ${\displaystyle \sigma (t)=t,}$
• lewostronnie izolowany (left scattered) jeżeli ${\displaystyle \rho (t)<t,}$
• prawostronnie izolowany (right scattered) jeżeli ${\displaystyle \sigma (t)>t,}$
• gęsty (dense) jeżeli jest jednocześnie lewo- i prawostronnie gęsty,
• izolowany (isolated) jeżeli jednocześnie lewo- i prawostronnie izolowany.

Δ-pochodna

Rozpatrzmy funkcję:

${\displaystyle f\colon \mathbb {T} \to \mathbb {R} ,}$

(R można również zastąpić dowolną przestrzenią Banacha).

Δ-pochodną funkcji ${\displaystyle f}$ w punkcie t nazwiemy liczbę ${\displaystyle f^{\Delta }(t)}$ o własności:

${\displaystyle \forall _{\varepsilon >0}\;\exists _{\delta >0}\;\forall _{s\in B(t,\delta )\cap \mathbb {T} }\;\;|f(\sigma (t))-f(s)-f^{\Delta }(t)(\sigma (t)-s)|\leqslant \varepsilon |\sigma (t)-s|}$

• jeżeli ${\displaystyle t=\sigma (t)}$ i funkcja ${\displaystyle f}$ jest ciągła w ${\displaystyle t,}$ to: ${\displaystyle f^{\Delta }(t)=\lim _{s\to t}{\frac {f(t)-f(s)}{t-s}},}$
• jeżeli ${\displaystyle t<\sigma (t)}$ (i ${\displaystyle f}$ ciągła w ${\displaystyle t}$), to: ${\displaystyle f^{\Delta }(t)={\frac {f{\big (}\sigma (t){\big )}-f{\big (}t{\big )}}{\mu (t)}}.}$

Jeśli ${\displaystyle f}$ i ${\displaystyle g}$ są ${\displaystyle \Delta }$ różniczkowalne w punkcie ${\displaystyle t\in \mathbb {T} ,}$ to:

• ${\displaystyle (\alpha f+\beta g)^{\Delta }(t)=\alpha f^{\Delta }(t)+\beta g^{\Delta }(t),}$

• ${\displaystyle (fg)^{\Delta }(t)=f^{\Delta }(t)g(\sigma (t))+f(t)g^{\Delta }(t)=f^{\Delta }(t)g(t)+f(\sigma (t))g^{\Delta }(t),}$

• jeżeli dodatkowo ${\displaystyle g(t)g(\sigma (t))\neq 0}$ to:

${\displaystyle \left({\frac {f}{g}}\right)^{\Delta }\!(t)={\frac {f^{\Delta }(t)g(t)-f(t)g^{\Delta }(t)}{g(t)g(\sigma (t))}}={\frac {f^{\Delta }(t)g(\sigma (t))-f(\sigma (t))g^{\Delta }(t)}{g(t)g(\sigma (t))}}.}$

Całkowanie

Rozpatrzmy funkcję:

${\displaystyle f\colon \mathbb {T} \to \mathbb {R} .}$

Funkcją pierwotną funkcji ${\displaystyle f}$ nazwiemy funkcję ${\displaystyle F\colon \mathbb {T} \to \mathbb {R} }$ taką, że ${\displaystyle \forall _{t\in \mathbb {T} }\;F^{\Delta }(t)=f(t).}$

Funkcję ${\displaystyle f}$ nazwiemy pg-ciągłą, jeżeli jest ciągła w punktach prawostronnie gęstych i istnieje skończona lewostronna granica w punktach lewostronnie gęstych.

Twierdzenie

Dla każdej funkcji pg-ciągłej istnieje jej funkcja pierwotna, na dodatek wyznaczona jednoznacznie z dokładnością do stałej.

Powyższe twierdzenie pozwala na zdefiniowanie całki dla funkcji pg-ciągłych:

${\displaystyle \int \limits _{t_{0}}^{t}f(x)\Delta x\;:=F(t)-F(t_{0}).}$

Własności całki:

• ${\displaystyle \int _{a}^{b}\alpha f(t)+\beta g(t)\Delta t=\alpha \int _{a}^{b}f(t)\Delta t+\beta \int _{a}^{b}g(t)\Delta t,}$
• ${\displaystyle \int _{t}^{\sigma (t)}f(\tau )\Delta \tau =f(t)\mu (t),}$
• ${\displaystyle [a,b]\subset \mathbb {T} \Rightarrow \int _{a}^{b}f(t)\Delta t=\int _{a}^{b}f(t)dt,}$
• ${\displaystyle \int _{a}^{b}f(t)\Delta t=-\int _{b}^{a}f(t)\Delta t,}$
• ${\displaystyle \int _{a}^{b}f(t)\Delta t=\int _{a}^{c}f(t)\Delta t+\int _{c}^{b}f(t)\Delta t,}$
• ${\displaystyle |f(t)|\leqslant g(t)\Rightarrow \left|\int _{a}^{b}f(t)\Delta t\right|\leqslant \int _{a}^{b}g(t)dt.}$

Podstawowe przykłady

Jeżeli za ${\displaystyle \mathbb {T} }$ przyjmiemy ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ to: ${\displaystyle \sigma (t)=t,\;\mu (t)=0,\;f^{\Delta }(t)=f'(t),\;\int \limits _{t_{0}}^{t}f(x)\Delta x=\int \limits _{t_{0}}^{t}f(x)dx.}$

Jeżeli za ${\displaystyle \mathbb {T} }$ przyjmiemy ${\displaystyle \mathbb {Z} ,}$ to: ${\displaystyle \sigma (t)=t+1,\;\mu (t)=1,\;f^{\Delta }(t)=\Delta f(t),\;\int \limits _{t_{0}}^{t}f(x)\Delta x=\sum \limits _{t_{0}}^{t-1}f(x).}$

Zobacz też

• Analiza na fraktalach