Proper forsing (własność proper pojęć forsingu) – jedna z podstawowych własności pojęć forsingu wprowadzona przez izraelskiego matematyka Saharona Szelacha w drugiej połowie lat 70. XX wieku. Nazwa jest spolszczeniem angielskiego wyrażenia proper forcing.
W 1978 w czasie wykładów w Berkeley, Szelach przedstawił po raz pierwszy tę własność i jej zastosowania, w druku te idee ukazały się w 1980[1]. W 1982, Szelach opublikował monografię[2] przedstawiającą pierwsze systematyczne badania forsingów proper, związanych z nimi aksjomatów forsingowych i twierdzeń zachowawczych[3][4][5].
Definicje
W literaturze tematu funkcjonują trzy równoważne definicje pojęcia forsingów proper. Definicja teoriogrowa była opublikowana po raz pierwszy w rozprawie doktorskiej Charlsa Greya, pozostałe dwie są oryginalnymi definicjami Szelacha.
Niech będzie pojęciem forsingu.
Definicja kombinatoryczna
- Uogólniając pojęcie zbiorów stacjonarnych wprowadzamy następujące definicje. Poniżej, dla liczby kardynalnej rodzina wszystkich nieskończonych przeliczalnych podzbiorów jest oznaczana przez
- Pojęcie forsingu jest proper jeśli zachowuje ono stacjonarność podzbiorów dla każdej nieprzeliczalnej liczby kardynalnej Innymi słowy, jest proper jeśli dla każdej nieprzeliczalnej liczby kardynalnej i każdego stacjonarnego zbioru mamy, że „ jest stacjonarny”.
Definicja teoriogrowa
- Dla rozważmy następującą grę nieskończoną długości W czasie partii tej gry, dwóch graczy (Pierwszy i Druga) konstruuje ciąg w sposób następujący. Na kroku
- najpierw Pierwszy wybiera -nazwę (term boole’owski) taką że „ jest liczbą porządkową”.
- Potem Druga odpowiada wybierając liczbę porządkową
- Po skończonej partii orzekamy że Druga wygrała wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje warunek taki, że
- Pojęcie forsingu jest proper jeśli dla każdego warunku Druga ma strategię zwycięską w grze
Definicja oparta na warunkach generycznych
- Powiemy, że zbiór jest filtrem w jeśli następujące warunki są spełnione:
- (i)
- (ii) jeśli oraz to również
- (iii) jeśli to można znaleźć taki że oraz
- Zbiór jest gęstym podzbiorem jeśli
- Niech będzie regularną liczbą kardynalną a będzie rodziną wszystkich zbiorów dziedzicznie mocy mniejszej niż Przypuśćmy, że jest przeliczalnym elementarnym podmodelem takim, że Powiemy, że warunek jest warunkiem -generycznym jeśli dla każdego maksymalnego antyłańcucha który należy do modelu mamy
- dla każdego jeśli są niesprzeczne, to
- (Przypomnijmy, że warunki są niesprzeczne jeśli istnieje warunek silniejszy niż oba te warunki).
- Pojęcie forsingu jest proper, jeśli dla każdej dostatecznie dużej regularnej liczby kardynalnej istnieje taki, że:
- jeśli jest przeliczalnym elementarnym podmodelem oraz
- to istnieje warunek który jest -generyczny.
Przykłady
- Wszystkie przeliczalnie domknięte pojęcia forsingu, jak też i wszystkie ccc pojęcia forsingu są proper.
- Pojęcia forsingu Lavera, Mathiasa i Sacksa (zdefiniowane w artykule o pojęciach forsingu) są proper.
Przykładowe własności
- Przypuśćmy, że pojęcie forsingu jest proper. Wówczas
- (a) Jeśli oraz jest -nazwą taką, że to istnieją warunek oraz ciąg zbiorów przeliczalnych takie, że
- (b) „ jest liczbą kardynalną”.
- Przypuśćmy, że jest iteracją z nośnikami przeliczalnymi (CS iteration) taką, że dla każdego mamy
- „ jest proper”.
- Wówczas jest proper.
- Załóżmy CH. Przypuśćmy, że jest iteracją z nośnikami przeliczalnymi taką, że dla każdego mamy
- „ jest proper mocy co najwyżej ”.
- Wówczas spełnia -cc (tzn. każdy antyłańcuch w jest mocy co najwyżej ) oraz „” dla każdego
Twierdzenia zachowawcze
Pozycja własności proper w teorii forsingów iterowanych jest wynikiem szeregu twierdzeń zachowawczych związanych z tą własnością.
Postać ogólna
Ogólny schemat twierdzeń iteracyjnych ma następującą postać. Mamy dwie własności pojęć forsingu, powiedzmy i i własność implikuje własność Twierdzenia iteracyjne związane z tymi własnościami mogą być jednej z następujących postaci:
- (a) Jeśli jest iteracją z nośnikami przeliczalnymi taką, że dla każdego mamy
- ” jest proper i ma własność ”,
- to jest proper i ma własność
- (b) Jeśli jest liczbą graniczną oraz jest taką iteracją z nośnikami przeliczalnymi, że dla każdego mamy
- „ jest proper” oraz ma własność
- to (jest proper i) ma własność
Jeśli własności są identyczne, to mówimy wówczas że mamy do czynienia z twierdzeniem zachowawczym.
Przykłady
- Powiemy, że pojęcie forsingu jest -ograniczające, jeśli
- Twierdzenie: Jeśli jest iteracją z nośnikami przeliczalnymi taką, że dla każdego mamy
- „ jest proper i -ograniczające”,
- to jest proper i jest -ograniczające.
- Powiemy, że pojęcie forsingu jest słabo -ograniczające, jeśli
- jest nieskończony
- Twierdzenie: Jeśli jest liczbą graniczną oraz jest taką iteracją z nośnikami przeliczalnymi, że dla każdego mamy
- ” jest proper „oraz jest słabo -ograniczające,
- to jest proper i jest słabo -ograniczające.
Dalsza lektura
Rozdziały 6 i 18 w monografii Szelacha[3] są najbardziej wyczerpującym przeglądem twierdzeń zachowawczych, ale bardzo jasno przedstawione szczególne przypadki tych twierdzeń można znaleźć w artykule Goldsterna[4] i książce Tomka Bartoszyńskiego i Haima Judaha[6]. Warto przy tej okazji zauważyć, że w artykule Goldsterna zakłada się (ze względów technicznych), że rozważane pojęcia forsingu dodają nowe liczby rzeczywiste, a prezentacja w książce Bartoszyńskiego i Judaha zawiera pewną lukę w tym aspekcie. Wyjaśnienie problemu i przedstawienie jego rozwiązania można znaleźć w artykule Jakoba Kellnera i Martina Goldsterna[7].
Aksjomat A
James E. Baumgartner[8] wprowadził własność pojęć forsingu, która implikuje, że rozważany forsing jest proper, a której sprawdzenie w wielu przypadkach jest prostsze (czy też bardziej intuicyjne). Własność ta znana jest pod nazwą aksjomatu A lub aksjomatu Baumgartnera.
Aksjomat Baumgartnera
Powiemy, że pojęcie forsingu spełnia aksjomat A, jeśli istnieje ciąg porządków częściowych na taki, że
- (i) jeśli to
- (ii) jeśli to
- (iii) jeśli nieskończony ciąg warunków ma tę własność, że (dla wszystkich ), to można znaleźć warunek taki, że
- (iv) dla każdego warunku liczby oraz maksymalnego antyłańcucha można wybrać warunek taki, że i zbiór są niesprzeczne jest przeliczalny.
Konsekwencje i przykłady
- Jeśli pojęcie forsingu spełnia aksjomat A, to jest ono proper.
- Wszystkie przeliczalnie domknięte pojęcia forsingu, jak też i wszystkie ccc pojęcia forsingu spełniają aksjomat A. (W pierwszym przypadku kładziemy a w drugim jest równością.)
- Forsing Silvera spełnia aksjomat A. Przypomnijmy, że pojęcie forsingu Silvera jest zdefiniowane następująco. Elementami porządku (tzn. warunkami) są funkcje takie, że oraz jest nieskończone; porządek jest odwrotną relacją wydłużania funkcji, tzn. wtedy i tylko wtedy, gdy ( oraz)
- Dla liczby naturalnej określmy relację dwuczłonową na w sposób następujący. Kładziemy oraz dla
- wtedy i tylko wtedy, gdy ( oraz) i jeśli i to
- Łatwo można sprawdzić, że są porządkami częściowymi na zaświadczającymi, że spełnia aksjomat A.
- Ogólniej, pojęcia forsingu zbudowane zgodnie z metodą norm na możliwościach spełniają aksjomat A przy naturalnych warunkach[9].
Zobacz też
Przypisy
- ↑ Szelach, Saharon: Independence results. „J. Symbolic Logic” 45 (1980), s. 563–573.
- ↑ Szelach, Saharon: Proper forcing. „Lecture Notes in Mathematics”, 940. Springer-Verlag, Berlin-New York, 1982. ISBN 3-540-11593-5.
- 1 2 Szelach, Saharon: Proper and improper forcing. „Perspectives in Mathematical Logic”. Springer-Verlag, Berlin, 1998. ISBN 3-540-51700-6.
- 1 2 Goldstern, Martin: Tools for your forcing construction. Set theory of the reals (Ramat Gan, 1991). „Israel Math. Conf. Proc.”, 6, Bar-Ilan Univ., Ramat Gan, 1993, s. 305–360.
- ↑ Abraham, Uri: Proper forcing, w: Handbook of Set Theory pod red. M. Foremana, A. Kanamoriego i M. Magidora, w druku. Dostępne w formacie dvi na stronie autora.
- ↑ Bartoszyński, Tomek; Judah, Haim. Set theory. On the structure of the real line, A K Peters, Ltd., Wellesley, MA, 1995. ISBN 1-56881-044-X.
- ↑ Goldstern, Martin; Kellner, Jakob: New reals: can live with them, can live without them. „Math. Log. Q.” 52 (2006), s. 115–124.
- ↑ Baumgartner, James E.: Iterated forcing, w: Surveys in set theory, pod red. A.R. D. Mathiasa. London Math. Soc. Lecture Notes Ser., 87, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1983, s. 1–59.
- ↑ Rosłanowski, Andrzej; Szelach, Saharon: Norms on possibilities. I. Forcing with trees and creatures. „Mem. Amer. Math. Soc.” 141 (1999), no. 671, ISBN 0-8218-1180-0.