Definicja operatorów kreacji i anihilacji

Operatory kreacji i anihilacji pojedynczego kwantu (pola kwantowego lub układu drgającego, obracającego się itp.) definiujemy następująco:

${\displaystyle {\hat {a}}^{\dagger }|n\rangle ={\sqrt {n+1}}|n+1\rangle ,}$

${\displaystyle {\hat {a}}|0\rangle =0,}$

${\displaystyle {\hat {a}}|n\rangle ={\sqrt {n}}|n-1\rangle }$ dla ${\displaystyle n\geqslant 1,}$

gdzie:

${\displaystyle {\hat {a}}^{\dagger }}$ – operator kreacji,

${\displaystyle {\hat {a}}}$ – operator anihilacji.

Przykład

1. Operator kreacji ${\displaystyle {\hat {a}}^{\dagger }}$ transformuje

   stan ${\displaystyle |n\rangle }$ oscylatora o energii ${\displaystyle E_{n}=\hbar \omega (1/2+n)}$

   do stanu ${\displaystyle |n+1\rangle }$ o energii ${\displaystyle E_{n+1}=\hbar \omega (3/2+n)=E_{n}+\hbar \omega ,}$

   czyli dodaje 1 kwant energii.

2. Operator anihilacji ${\displaystyle {\hat {a}}}$ transformuje

   stan ${\displaystyle |n\rangle }$ o energii ${\displaystyle E_{n}}$

   do stanu ${\displaystyle |n-1\rangle }$ o energii ${\displaystyle E_{n-1}=E_{n}-\hbar \omega ,}$

   czyli

   • odejmuje 1 kwant energii
   • lub zeruje funkcję falową, gdy działa na najniższy możliwy stan – stan ${\displaystyle |0\rangle .}$

Wyrażenie dowolnego stanu przez operator kreacji

Dowolny stan ${\displaystyle |n\rangle }$ pola kwantowego, zawierający n kwantów (lub stan układu oscylującego, obracającego się itp., zawierający n kwantów) można wyrazić za pomocą ${\displaystyle n}$-krotnego działania operatora kreacji na najniższy stan oscylatora ${\displaystyle |0\rangle {:}}$

${\displaystyle |n\rangle ={\frac {1}{\sqrt {n!}}}(a^{\dagger })^{n}|0\rangle .}$

W przypadku pól kwantowych stan ${\displaystyle |0\rangle }$ nazywa się stanem próżni. Operatory kreacji i anihilacji wykorzystuje się w przedstawieniu stanów pół kwantowych (patrz drugi rozdział).

Działanie operatorów na stany sprzężone

${\displaystyle \langle n|{\hat {a}}=\langle n+1|{\sqrt {n+1}},}$

${\displaystyle \langle n|{\hat {a}}^{\dagger }=\langle n-1|{\sqrt {n}}.}$

Reguły komutacji

${\displaystyle [{\hat {a}},{\hat {a}}]=[{\hat {a}}^{\dagger },{\hat {a}}^{\dagger }]=0,}$

${\displaystyle [{\hat {a}},{\hat {a}}^{\dagger }]=1,}$

gdzie:

${\displaystyle [A,B]=AB-BA}$ – komutator.

Reprezentacja macierzowa

Stany ${\displaystyle |n\rangle }$ są wzajemnie ortogonalne – można wybrać je na bazę przestrzeni Hilberta. Bazę tą nazywa się bazą liczby cząstek.

Operatory kreacji i anihilacji w tej bazie mają następujące reprezentacje:

${\displaystyle a^{\dagger }={\begin{pmatrix}0&0&0&\dots &0&\dots \\{\sqrt {1}}&0&0&\dots &0&\dots \\0&{\sqrt {2}}&0&\dots &0&\dots \\0&0&{\sqrt {3}}&\dots &0&\dots \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\dots \\0&0&0&\dots &{\sqrt {n}}&\dots &\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{pmatrix}}}$

oraz

${\displaystyle a={\begin{pmatrix}0&{\sqrt {1}}&0&0&\dots &0&\dots \\0&0&{\sqrt {2}}&0&\dots &0&\dots \\0&0&0&{\sqrt {3}}&\dots &0&\dots \\0&0&0&0&\ddots &\vdots &\dots \\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &{\sqrt {n}}&\dots \\0&0&0&0&\dots &0&\ddots \\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{pmatrix}}}$

Elementy ${\displaystyle a_{mn}^{\dagger }}$ macierzy operatora ${\displaystyle a^{\dagger }}$ wyznacza się obliczając działania operatora na stany bazowe, tj.

${\displaystyle a_{nm}^{\dagger }=\langle n\mid a^{\dagger }\mid m\rangle }$

i podobnie dla operatora ${\displaystyle a}$

${\displaystyle a_{nm}=\langle n\mid a\mid m\rangle .}$

Dowód.

1) Dla operatora kreacji mamy obliczamy:

${\displaystyle a_{nm}^{\dagger }=\langle n\mid a^{\dagger }\mid m\rangle ={\sqrt {m+1}}\langle n|m+1\rangle ={\sqrt {m+1}}\,\delta _{n,m+1}}$

Wyrazy niezerowe otrzymamy tylko gdy ${\displaystyle m=n-1,}$ czyli niezerowe są wyrazy

${\displaystyle a_{n\,n-1}^{\dagger }={\sqrt {n}}}$

Czyli różne od zera są wyrazy: ${\displaystyle a_{1\,0}^{\dagger }={\sqrt {1}},a_{2\,1}^{\dagger }={\sqrt {2}},a_{3\,2}^{\dagger }={\sqrt {3}},\dots ,}$ cnd.

2) Analogicznie dowodzi się dla operatora anihilacji.

Reguły komutacyjne

Istnieją dwie reguły definiujące operatory kreacji i anihilacji.

Reguła antykomutacyjna Jordana-Wignera definiująca operatory dla fermionów:

${\displaystyle \{{\hat {a}}_{i},{\hat {a}}_{j}\}=\{{\hat {a}}_{i}^{\dagger },{\hat {a}}_{j}^{\dagger }\}=0,}$

${\displaystyle \{{\hat {a}}_{i},{\hat {a}}_{j}^{\dagger }\}=\delta _{ij},}$

gdzie:

${\displaystyle \{A,B\}=AB+BA}$ – tzw. antykomutator.

Reguła komutacyjna Bosego definiująca operatory dla bozonów:

${\displaystyle [{\hat {a}}_{i},{\hat {a}}_{j}]=[{\hat {a}}_{i}^{\dagger },{\hat {a}}_{j}^{\dagger }]=0,}$

${\displaystyle [{\hat {a}}_{i},{\hat {a}}_{j}^{\dagger }]=\delta _{ij}.}$

Wyrażenie dowolnego stanu pola przez operator kreacji

Definiując zbiór operatorów kreacji i anihilacji, wraz z odpowiednimi relacjami komutacji (antykomutacji) i stanem próżni, otrzymujemy zbiór stanów wielocząstkowych. Stan o określonej liczbie cząstek ${\displaystyle |n_{1},n_{2},\dots ,\rangle }$ otrzymuje się jako wynik działania operatorów kreacji ${\displaystyle (a_{1}^{\dagger })^{n_{1}}\cdot (a_{2}^{\dagger })^{n_{2}}\dots }$ na stan próżni ${\displaystyle |0_{1},0_{2},\dots \rangle }$ w ten sposób że np.

${\displaystyle |n_{1}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {n_{1}!}}}(a^{\dagger })^{n_{1}}|0\rangle }$ itd.,

przy czym jeżeli ${\displaystyle |n_{1}\rangle }$ oznacza stan bozonowy, to w powyższym wzorze występuje operator kreujący bozony, gdy zaś jest to stan fermionowy – to mamy tam operator kreujący fermiony. Pełny obraz, jaki daje kwantowa teoria pola, uwzględnia dodatkowo, że operatory pola są scharakteryzowane przez inne liczby kwantowe, np. przez spin, z jakim kreują cząstki.

Np. dla opisu stanu elektronu w atomie wodoru mamy zespół 4 liczb kwantowych, czyli

${\displaystyle i\equiv (n,l,m_{l},m_{s}),}$

gdzie: ${\displaystyle n}$ – główna liczba kwantowa, ${\displaystyle l}$ – liczba kwantowa orbitalnego momentu pędu, ${\displaystyle m_{l}}$ – liczba kwantowa rzutu orbitalnego momentu pędu na wybrany kierunek, ${\displaystyle m_{s}}$ – liczba kwantowa rzutu spinowego momentu pędu na wybrany kierunek (liczba spinowa dla elektronów wynosi zawsze ${\displaystyle s=1/2}$). Dlatego np. operator kreacji elektronu w danym stanie w atomie wodoru ma postać

${\displaystyle a_{i}^{\dagger }\equiv a_{n,l,m_{l},m_{s}}^{\dagger }}$

Elektron może być w superpozycji stanów – wtedy operator kreujący taki stan jest kombinacją liniową operatorów ${\displaystyle a_{i}^{\dagger },a_{j}^{\dagger },\dots }$

Operator liczby cząstek układu kwantowego

Operatory kreacji i anihilacji zmieniają liczbę cząstek układu kwantowego. Operator całkowitej liczby cząstek ma postać

${\displaystyle N=\sum _{i}n_{i}=\sum _{i}a_{i}^{\dagger }a_{i},}$

gdzie indeksy ${\displaystyle i}$ reprezentują liczby kwantowe. Indeksy te odróżniają różne możliwe stany układu, zgodnie z tym, co opisano wyżej.

Inne operatory