Kwadratura koła

Kwadratura koła – problem polegający na skonstruowaniu kwadratu, którego pole równe jest polu danego koła^[1] przy użyciu wyłącznie cyrkla i linijki bez podziałki^[2]. Jest to jeden z trzech wielkich problemów starożytnej matematyki greckiej (obok trysekcji kąta i podwojenia sześcianu), sformułowany przez szkołę pitagorejską.

Wykonalność i próby

Konstrukcja taka jest niewykonalna^[2] – wynika to z twierdzenia udowodnionego w roku 1837 przez Pierre’a Wantzela oraz faktu wykazanego w 1882 roku przez Ferdinanda Lindemanna, iż π jest liczbą przestępną^[2].

Pierwsze próby kwadratury koła sięgają Starożytnego Egiptu, opisane zostały jako problem 48 w Papirusie Rhinda, gdzie opisana została aproksymacja kwadratury koła^[3].

Kwadratura koła jest bezpośrednio związana z rektyfikacją okręgu: gdyby jedna z tych konstrukcji była wykonalna, oznaczałoby to, że wykonalna jest także druga.

Określenie „kwadratura koła” funkcjonuje również w języku potocznym i oznacza coś niewykonalnego, z góry skazanego na niepowodzenie.

Hipotetyczne rozwiązanie

• promień okręgu opisanego na trójkącie równobocznym jest równy ⅔ wysokości tego trójkąta, czyli R = ⅔h.
• promień okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny jest równy ⅓ wysokości tego trójkąta, czyli r = ⅓h.
• wysokość trójkąta równobocznego jest równa połowie boku pomnożonej przez √3, czyli h = ½a√3.
• długość boku trójkąta równobocznego można obliczyć ze wzoru: a = h 3–√ 2.

Podstawiając dane do wzorów, otrzymujemy układ równań:

${\displaystyle {\begin{cases}R=2/3h\\r=1/3h\\h=1/2a{\sqrt {3}}\\a=h{\sqrt {2}}{\sqrt {3}}\end{cases}}}$

Rozwiązując układ równań, otrzymujemy:

${\displaystyle {\begin{cases}h=3/2R\\h=1/3r\\a=3/2R{\sqrt {2}}{\sqrt {3}}\\a=3r{\sqrt {2}}{\sqrt {3}}\end{cases}}}$

Podstawiając r = 1 i a = √π, otrzymujemy:

${\displaystyle {\begin{cases}h=3/2R\\h=3\\a=3/2R{\sqrt {2}}{\sqrt {3}}\\a={\sqrt {\pi }}\end{cases}}}$

Z tych równań wynika, że R = 2 i a = √π. Zatem bok trójkąta równobocznego z opisanego na nim koła tak, by r = 1 i a = √π, jest równy √π.

Konstrukcyjnie trzeba utworzyć trójkąt równoboczny wpisany w okrąg, podstawa trójkąta będzie bokiem kwadratu, o wysokości h=3r dla r=1

Zobacz też

• kwadratura figury geometrycznej
• księżyce Hipokratesa

Przypisy

Linki zewnętrzne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Circle Squaring, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2024-03-07].
• John J.J.J. O’Connor John J.J.J., Edmund F.E.F. Robertson Edmund F.E.F., Squaring the circle [online], MacTutor History of Mathematics archive [dostęp 2018-07-20] [zarchiwizowane z adresu 2012-12-23]  (ang.).