Kolaps Mostowskiego (kolaps przechodni) – zbiór przechodni, który wraz z relacją należenia jest izomorficzny z daną ufundowaną relacją ekstensjonalną. Termin kolaps Mostowskiego jest też używany na określenie samego izomorfizmu z wyjściowego zbioru z relacją na zbiór przechodni.

Izomorfizm ten był użyty przez Kurta Gödla w 1937 w niebezpośredniej formie^[1] . Samodzielne twierdzenie o istnieniu kolapsów przechodnich było sformułowane i udowodnione przez Andrzeja Stanisława Mostowskiego w 1949^[2].

Twierdzenie o kolapsie Mostowskiego jest nazywane także twierdzeniem o ściąganiu^[3].

Definicje

• Relacja dobrze ufundowana (lub po prostu relacja ufundowana) to relacja ${\displaystyle R,}$ dla której nie istnieje nieskończony ${\displaystyle R}$-zstępujący ciąg ${\displaystyle {(a_{n})}_{n},}$ czyli taki nieskończony ciąg elementów zbioru ${\displaystyle X,}$ w którym każdy element jest w relacji z następującym bezpośrednio przed nim:

${\displaystyle a_{2}\;R\;a_{1},}$ ${\displaystyle a_{3}\;R\;a_{2},}$ ${\displaystyle a_{4}\;R\;a_{3}\ldots }$

• Powiemy, że relacja dwuczłonowa ${\displaystyle R}$ na zbiorze ${\displaystyle X}$ spełnia warunek ekstensjonalności (jest ekstensjonalna) jeśli dla wszystkich ${\displaystyle x,y\in X}$ zachodzi implikacja:

jeśli ${\displaystyle (\forall z\in X)(z\;R\;x\Leftrightarrow z\;R\;y)}$ to ${\displaystyle x=y.}$

• Zbiór ${\displaystyle S}$ jest przechodni (tranzytywny), jeśli każdy jego element jest jednocześnie jego podzbiorem, czyli gdy spełniony jest warunek

${\displaystyle (\forall x\in S)(\forall y\in x)(y\in S).}$

Twierdzenie

Załóżmy, że ${\displaystyle R}$ jest dwuczłonową relacją ufundowaną na zbiorze ${\displaystyle X.}$ Przypuśćmy również, że relacja ta spełnia warunek ektensjonalności. Wówczas istnieje dokładnie jeden zbiór przechodni ${\displaystyle S}$ oraz dokładnie jedna bijekcja ${\displaystyle \pi :X\longrightarrow S}$ takie, że dla wszystkich ${\displaystyle x,y\in X}$ mamy:

${\displaystyle \pi (x)\in \pi (y)\Leftrightarrow x\;R\;y.}$

Zbiór ${\displaystyle S}$ nazywa się kolapsem Mostowskiego relacji ${\displaystyle R}$, czasem ten sam zwrot jest używane w odniesieniu do odwzorowania ${\displaystyle \pi .}$

Przykłady

• Kolaps Mostowskiego zbioru przechodniego jest tym samym zbiorem. Zatem w szczególności, kolaps Mostowskiego liczby porządkowej jest tą samą liczbą.
• Relacja ${\displaystyle <}$ naturalnego porządku na zbiorze ${\displaystyle P}$ parzystych liczb naturalnych jest zarówno ufundowana i ekstensjonalna. Kolaps relacji ${\displaystyle (P,<)}$ to zbiór liczb naturalnych

${\displaystyle \omega ={\Big \{}\varnothing ,\{\varnothing \},\{\varnothing ,\{\varnothing \}\},\{\varnothing ,\{\varnothing \},\{\varnothing ,\{\varnothing \}\}\},\dots {\Big \}}.}$

• W teorii forsingu często używa się kolapsów Mostowskiego w następującej sytuacji. Mamy daną pewną (dużą) regularną liczbą kardynalną ${\displaystyle \chi }$ i rozważamy rodzinę ${\displaystyle {\mathcal {H}}(\chi )}$ wszystkich zbiorów dziedzicznie mocy mniejszej niż ${\displaystyle \chi .}$ Przypuśćmy, że ${\displaystyle N}$ jest przeliczalnym elementarnym podmodelem ${\displaystyle ({\mathcal {H}}(\chi ),\in ).}$ (Istnienie takich podmodeli wynika z dolnego twierdzenia Löwenheima-Skolema). Wówczas istnieje (jedyny) przeliczalny tranzytywny zbiór ${\displaystyle M}$ taki, że model ${\displaystyle (N,\in )}$ jest izomorficzny z ${\displaystyle (M,\in ).}$

Przypisy

Bibliografia

• JulietteJ. Kennedy JulietteJ., Kurt Gödel, Edward N.E.N. Zalta (red.), [w:] Stanford Encyclopedia of Philosophy, Winter 2017 Edition, Metaphysics Research Lab, Stanford University, 11 grudnia 2015, ISSN 1095-5054 [dostęp 2018-01-30] [zarchiwizowane z adresu 2017-12-21]  (ang.).???