Ideały w porządkach

Niech ${\displaystyle (P,\leqslant )}$ będzie porządkiem częściowym. Powiemy, że zbiór ${\displaystyle I\subseteq P}$ jest ideałem w zbiorze uporządkowanym ${\displaystyle P}$, jeśli następujące warunki są spełnione:

(i) ${\displaystyle I\neq \varnothing ,}$

(ii) jeśli ${\displaystyle p,q\in P,}$ ${\displaystyle p\leqslant q}$ oraz ${\displaystyle q\in I,}$ to również ${\displaystyle p\in I,}$

(iii) jeśli ${\displaystyle p,q\in I,}$ to można znaleźć ${\displaystyle r\in I}$ taki że ${\displaystyle p\leqslant r}$ oraz ${\displaystyle q\leqslant r.}$

Ideał ${\displaystyle I}$ jest właściwy jeśli dodatkowo

(iv) ${\displaystyle I\neq P.}$

Ideały w algebrach Boole’a

Ponieważ algebra Boole’a jest także zbiorem częściowo uporządkowanym, to definicja ideału w porządkach częściowych może być przeniesiona bez zmian na algebry Boole’a. Możemy jednak wykorzystać fakt, że porządek boole’owski jest związany z operacjami algebry i możemy sformułować definicję ideału trochę inaczej.

Niech ${\displaystyle (\mathbb {B} ,+,\cdot ,\sim ,\mathbf {0} ,\mathbf {1} )}$ będzie algebrą Boole’a. Powiemy, że zbiór ${\displaystyle I}$ jest ideałem w algebrze Boole’a ${\displaystyle \mathbb {B} }$, jeśli następujące warunki są spełnione:

(i) ${\displaystyle \mathbf {0} \in I,}$

(ii) jeśli ${\displaystyle a,b\in \mathbb {B} ,}$ ${\displaystyle a\leqslant b}$ (tzn. ${\displaystyle a\cdot b=a}$) oraz ${\displaystyle b\in I,}$ to również ${\displaystyle a\in I,}$

(iii) jeśli ${\displaystyle a,b\in I,}$ to ${\displaystyle a+b\in I.}$

Ideał ${\displaystyle I}$ jest właściwy jeśli dodatkowo

(iv) ${\displaystyle \mathbf {1} \notin I.}$

Powyższa definicja jest równoważna definicji sformułowanej w kontekście częściowych porządków, zastosowanej do relacji zawierania zbiorów.

Ideały podzbiorów danego zbioru

Szczególnym przypadkiem algebry Boole’a jest rodzina wszystkich podzbiorów ustalonego zbioru ${\displaystyle S}$ (z operacjami sumy, przekroju i dopełnienia zbiorów). Zatem sformułowana powyżej definicja ideału na algebrze Boole’a może być powtórzona bez zmian dla podzbiorów zbioru ${\displaystyle S.}$ Sformułujemy tę definicję jeszcze raz dla podkreślenia znaczenia intuicji, że ideał to rodzina małych podzbiorów ${\displaystyle S}$.

Niech ${\displaystyle S}$ będzie niepustym zbiorem. Powiemy, że rodzina ${\displaystyle I}$ podzbiorów zbioru ${\displaystyle S}$ jest ideałem podzbiorów zbioru ${\displaystyle S}$ jeśli następujące warunki są spełnione:

(i) ${\displaystyle \varnothing \in I,}$

(ii) jeśli ${\displaystyle A\subseteq B\subseteq S}$ i ${\displaystyle B\in I,}$ to również ${\displaystyle A\in I,}$

(iii) jeśli ${\displaystyle A,B\in I,}$ to ${\displaystyle A\cup B\in I.}$

Ideał ${\displaystyle I}$ jest właściwy jeśli dodatkowo

(iv) ${\displaystyle S\notin I.}$

Ideały maksymalne

Ideał właściwy ${\displaystyle I}$ w porządku częściowym ${\displaystyle (P,\leqslant )}$ jest ideałem maksymalnym jeśli jedynym ideałem właściwym zawierającym ${\displaystyle I}$ jest samo ${\displaystyle I.}$

Ideały w algebrach Boole’a

• Niech ${\displaystyle {\mathcal {K}}_{\mathcal {B}}}$ będzie rodziną tych borelowskich podzbiorów prostej rzeczywistej, które są pierwszej kategorii. Wówczas ${\displaystyle {\mathcal {K}}_{\mathcal {B}}}$ jest ideałem w algebrze borelowskich podzbiorów prostej.
• Niech ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\mathcal {B}}}$ będzie rodziną tych borelowskich podzbiorów prostej, które są miary zero Lebesgue’a. Wówczas ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\mathcal {B}}}$ jest ideałem w algebrze borelowskich podzbiorów prostej.
• Przypuśćmy, że ${\displaystyle F}$ jest filtrem w algebrze Boole’a ${\displaystyle \mathbb {B} .}$ Niech ${\displaystyle F^{c}=\{\sim a:a\in F\}.}$ Wówczas ${\displaystyle F^{c}}$ jest ideałem w ${\displaystyle \mathbb {B} .}$ Warto zauważyć, że ${\displaystyle F^{c}}$ jest ideałem maksymalnym wtedy i tylko wtedy gdy ${\displaystyle F}$ jest ultrafiltrem.

Ideały podzbiorów danego zbioru

• Niech ${\displaystyle S}$ będzie zbiorem nieskończonym. Rodzina ${\displaystyle [S]^{<\omega }}$ wszystkich skończonych podzbiorów ${\displaystyle S}$ jest ideałem podzbiorów ${\displaystyle S.}$ Jest on często nazywany ideałem Frécheta.
• Niech ${\displaystyle A\subsetneq X.}$ Wówczas rodzina ${\displaystyle I_{A}}$ wszystkich podzbiorów zbioru ${\displaystyle A}$ jest ideałem podzbiorów ${\displaystyle X.}$ Ideały tej postaci są nazywane ideałami głównymi i zwykle nie są one obiektem rozważań (tzn. typowym założeniem o rozważanych ideałach jest że są one niegłówne).
• Niech ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ będzie rodziną wszystkich podzbiorów prostej rzeczywistej które są pierwszej kategorii, a ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ będzie rodziną tych wszystkich podzbiorów prostej które mają miarę Lebesgue’a zero. Wówczas zarówno ${\displaystyle {\mathcal {K}},}$ jak i ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ są ideałami podzbiorów prostej.
• Przypuśćmy, że ${\displaystyle (X,\tau )}$ jest przestrzenią topologiczną. Wówczas rodzina wszystkich nigdziegęstych podzbiorów przestrzeni ${\displaystyle X}$ tworzy właściwy ideał podzbiorów ${\displaystyle X.}$
• Niech ${\displaystyle \kappa }$ będzie nieprzeliczalną regularną liczbą kardynalną oraz niech ${\displaystyle {\mathcal {NS}}_{\kappa }}$ będzie rodziną wszystkich tych podzbiorów ${\displaystyle \kappa ,}$ których dopełnienie zawiera domknięty nieograniczony podzbiór ${\displaystyle \kappa .}$ Rodzina ${\displaystyle {\mathcal {NS}}_{\kappa }}$ jest ideałem podzbiorów ${\displaystyle \kappa }$ – zbiory z tego ideału są nazywane niestacjonarnymi podzbiorami ${\displaystyle \kappa }$.