Funkcja mierzalna – funkcja zachowująca strukturę przestrzeni mierzalnych; stanowi ona naturalny kontekst dla teorii całkowania (w szczególności całki Lebesgue’a).

Funkcja między przestrzeniami mierzalnymi jest mierzalna, jeżeli przeciwobraz dowolnego zbioru mierzalnego jest mierzalny. Z punktu widzenia teorii kategorii funkcje mierzalne są morfizmami przestrzeni mierzalnych; jest to pojęcie analogiczne np. do funkcji ciągłych między przestrzeniami topologicznymi, czy homomorfizmów struktur algebraicznych.

Definicja ta wydaje się prosta, jednak należy zwracać szczególną uwagę na stosowane ${\displaystyle \sigma }$-algebry. W szczególności, jeżeli o funkcji ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ mówi się, że jest mierzalna w sensie Lebesgue’a, to ma się w rzeczywistości na myśli, iż mierzalna jest funkcja ${\displaystyle f\colon (\mathbb {R} ,{\mathcal {L}})\to (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}),}$ tzn. dziedzina i przeciwdziedzina różnią się ${\displaystyle \sigma }$-algebrami określonymi na tym samym zbiorze (tutaj ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ oznacza σ-algebrę zbiorów mierzalnych w sensie Lebesgue’a, zaś ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ jest σ-algebrą borelowską na prostej). W wyniku tego złożenie funkcji mierzalnych w sensie Lebesgue’a nie musi być mierzalne w sensie Lebesgue’a.

Jeżeli nie zaznaczono inaczej, to zwykle przyjmuje się, że przestrzeń topologiczna wyposażona jest w σ-algebrę borelowską generowaną przez jej podzbiory otwarte. Najczęściej przestrzenią tą są przestrzenie liczb rzeczywistych bądź zespolonych. Np. funkcja mierzalna o wartościach rzeczywistych – to funkcja, której przeciwobraz dowolnego zbioru borelowskiego jest mierzalny. Analogicznie definiuje się funkcję mierzalną o wartościach zespolonych. Niektórzy autorzy używają terminu „funkcja mierzalna” na oznaczenie funkcji mierzalnych o wartościach rzeczywistych względem σ-algebry borelowskiej^[1].

Funkcje niemierzalne uważane są za patologiczne, przynajmniej z punktu widzenia analizy. W rachunku prawdopodobieństwa (rzeczywiste bądź zespolone) funkcje mierzalne nazywane są zmiennymi losowymi; funkcje mierzalne o wartościach w przestrzeni euklidesowej nazywane są często wektorami losowymi.

Szczególne przypadki

• Jeżeli ${\displaystyle (X,{\mathcal {F}})}$ oraz ${\displaystyle (Y,{\mathcal {N}})}$ są przestrzeniami borelowskimi, to funkcja mierzalna ${\displaystyle f\colon (X,{\mathcal {F}})\to (Y,{\mathcal {N}})}$ bywa nazywana funkcją borelowską. Funkcje ciągłe są borelowskie, ale nie wszystkie funkcje borelowskie są ciągłe. Mimo wszystko funkcja mierzalna jest niemal funkcją ciągłą, o czym mówi twierdzenie Łuzina. Jeżeli funkcja jest cięciem pewnego przekształcenia ${\displaystyle Y{\stackrel {\pi }{\to }}X,}$ to nazywa się je cięciem borelowskim.
• funkcja mierzalna w sensie Lebesgue’a to funkcja mierzalna ${\displaystyle f\colon (\mathbb {R} ,{\mathcal {L}})\to (\mathbb {C} ,{\mathcal {B}}_{\mathbb {C} }),}$ gdzie ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ oznacza σ-algebrę zbiorów mierzalnych w sensie Lebesgue’a, zaś ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\mathbb {C} }}$ to σ-algebra borelowska liczb zespolonych ${\displaystyle \mathbb {C} .}$ Funkcje mierzalne w sensie Lebesgue’a są w centrum zainteresowania analizy matematycznej z powodu ich całkowalności.
• Zmienne losowe definiuje się jako funkcje mierzalne określone na przestrzeniach próbek (zdarzeń elementarnych).

Własności

• Suma i iloczyn dwóch funkcji mierzalnych (a więc i ich kombinacje liniowe) o wartościach zespolonych są mierzalne^[2]. Mierzalny jest także ich iloraz, o ile nie występuje dzielenie przez zero^[1].
• Jeżeli funkcja ${\displaystyle f}$ jest ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{1}/{\mathcal {M}}_{2}}$-mierzalna, a funkcja ${\displaystyle g}$ jest ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{2}/{\mathcal {N}}}$-mierzalna, to ich złożenie ${\displaystyle g\circ f}$ jest ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{1}/{\mathcal {N}}}$-mierzalne^[1][3], gdzie sformułowanie „funkcja ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{1}/{\mathcal {M}}_{2}}$-mierzalna” oznacza, że mierzalna jest funkcja ${\displaystyle f\colon (X,{\mathcal {M}}_{1})\to (Y,{\mathcal {M}}_{2}).}$ Innymi słowy złożenie funkcji mierzalnych jest mierzalne, o ile tylko odpowiednie ${\displaystyle \sigma }$-algebry do siebie pasują (zob. kontrprzykład funkcji mierzalnych w sensie Lebesgue’a we wstępie).
• (Punktowe) kresy dolny i górny (infimum i supremum) oraz granice dolna i górna (limes inferior i superior) ciągu funkcji mierzalnych o wartościach rzeczywistych także są funkcjami mierzalnymi^[1][4]. Mierzalne są także funkcje minimum i maksimum.
• Granica punktowa ciągu funkcji mierzalnych jest mierzalna (odpowiednie twierdzenie dotyczące funkcji ciągłych wymaga założeń silniejszych niż zbieżność punktowa, przykładowo zbieżności jednostajnej).

Funkcje niemierzalne

Spotykane w zastosowaniach funkcje o wartościach rzeczywistych są zwykle mierzalne; jednak nietrudno wskazać funkcje niemierzalne.

• O ile tylko istnieją zbiory niemierzalne przestrzeni mierzalnej, to istnieją także funkcje niemierzalne na niej określone. Jeżeli ${\displaystyle (X,{\mathcal {M}})}$ jest pewną przestrzenią mierzalną, a ${\displaystyle A\subset X}$ jest zbiorem niemierzalnym, tj. ${\displaystyle A\notin {\mathcal {M}},}$ to funkcja charakterystyczna zbioru ${\displaystyle \mathbf {1} _{A}\colon (X,{\mathcal {M}})\to \mathbb {R} }$ jest niemierzalna (gdzie ${\displaystyle \mathbb {R} }$ wyposażona jest w zwyczajową σ-algebrę borelowską), ponieważ przeciwobrazem zbioru mierzalnego ${\displaystyle \{1\}}$ jest zbiór niemierzalny ${\displaystyle A.}$
• Funkcja stała jest mierzalna względem dowolnej σ-algebry. Dowolna funkcja, która nie jest stałą, może być przekształcona w niemierzalną poprzez wyposażenie dziedziny i przeciwdziedziny w odpowiednie ${\displaystyle \sigma }$-algebry. Jeżeli ${\displaystyle f\colon X\to \mathbb {R} }$ jest dowolną niestałą funkcją o wartościach rzeczywistych, to ${\displaystyle f}$ jest niemierzalna, jeśli wyposażyć ${\displaystyle X}$ w algebrę antydyskretną ${\displaystyle {\mathcal {M}}=\{0,X\},}$ gdyż przeciwobrazem dowolnego punktu obrazu jest pewien właściwy, niepusty podzbiór ${\displaystyle X,}$ który nie należy do ${\displaystyle {\mathcal {M}}.}$

Zobacz też

• funkcja całkowalna
• funkcja klasy Baire’a
• przestrzenie liniowe funkcji mierzalnych: przestrzenie ${\displaystyle L^{p}}$
• układ dynamiczny zachowujący miarę

Przypisy

Bibliografia

• Patrick Billingsley: Probability and Measure, 2nd Edition. Nowy Jork: John Wiley & Sons Inc, 1986.brak strony w książce
• Witold Kołodziej: Analiza matematyczna. Warszawa: PWN, 1979.brak strony w książce
• Stanisław Łojasiewicz: Wstęp do teorii funkcji rzeczywistych. Warszawa: PWN, 1973.brak strony w książce