Cząstka w studni potencjału – jeden z najprostszych przykładów z zakresu mechaniki kwantowej. Rozważa się w nim cząstkę odbijająca się od ścian jednowymiarowej studni potencjału o szerokości ${\displaystyle L}$ bez dyssypacji energii, przy czym potencjał jest nieskończony dla ${\displaystyle x<0}$ i ${\displaystyle x>L}$ i zerowy dla ${\displaystyle 0<x<L.}$

Rozkłady gęstości prawdopodobieństwa znalezienia cząstki w nieskończenie głębokiej jamie potencjału o szerokości ${\displaystyle L}$ dla niektórych wartości własnych energii ${\displaystyle m.}$

Z punktu widzenia mechaniki klasycznej problem ten jest trywialny: cząstka porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym, odbijając się od ścian studni pod kątem odbicia równym co do wartości bezwzględnej kątowi padania.

Z punktu widzenia mechaniki kwantowej, rozwiązaniem równania Schrödingera dla tego problemu jest funkcja falowa:

${\displaystyle \psi _{m}(x)={\sqrt {\frac {2}{L}}}\sin {\left({\frac {m\pi x}{L}}\right)}.}$

Cząstka może mieć zatem jedynie określone niezerowe i naturalne poziomy energetyczne ${\displaystyle m,}$ a ponadto prawdopodobieństwo ${\displaystyle |\psi _{m}(x)|^{2}}$ znalezienia cząstki w danym miejscu (określonym współrzędną ${\displaystyle x}$) nie jest jednostajne. Istnieją punkty studni, w których prawdopodobieństwo znalezienia cząstki jest większe (uśredniając dla wszystkich poziomów energetycznych, największe jest w środku studni), jak i punkty w których cząstka nie może się znaleźć (niezależnie od jej poziomu energetycznego są to punkty ${\displaystyle x=0}$ i ${\displaystyle x=L}$). Choć oba te wnioski nie są zgodne z naszym intuicyjnym pojmowaniem świata, jednak opierają się na teorii, której założenia potwierdzają wyniki licznych doświadczeń.

Cząstka w jednowymiarowej studni potencjału

W przypadku ruchu w jednowymiarowej studni potencjału bezczasowe równanie Schrödingera może być zapisane jako:

${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}+V(x)\psi =E\psi ,\quad (1)}$

gdzie potencjał V(x) jest równy:

${\displaystyle V(x)={\begin{cases}V_{0}&&x\in (-\infty ,-a]&{\text{obszar I}}\\0&&x\in (-a,a)&{\text{obszar II}}\\V_{0}&&x\in [a,\infty )&{\text{obszar III}}\end{cases}}}$

Potencjał ${\displaystyle V(x)}$ jest symetryczny względem inwersji (x → -x (symetria parzystości)) W obszarze II cząstka jest swobodna

${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}=E\psi .\quad (2)}$

Obszary I i III są klasycznie zabronione ${\displaystyle (E<V_{0}),}$ ale formalnie równanie Schrödingera wygląda jak dla cząstki swobodnej

${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}=(E-V_{0})\psi .\quad (3)}$

W obszarze I i III rozwiązaniem jest zanikająca amplituda prawdopodobieństwa, w I obszarze ${\displaystyle (x<0)}$

${\displaystyle \psi =Ae^{\kappa x},}$

a w III ${\displaystyle (x>L)}$

${\displaystyle \psi =De^{-\kappa x}}$

z

${\displaystyle {\frac {\hbar ^{2}\kappa ^{2}}{2m}}=(V_{0}-E).\quad (4)}$

W obszarze II ma charakter oscylujący

${\displaystyle \psi =(B\sin(kx)+C\cos(kx))}$

z

${\displaystyle E={\frac {\pi ^{2}\hbar ^{2}k^{2}}{2mL^{2}}}.\quad (5)}$

Stałe A, B, C i D wyznaczamy z warunku ciągłości funkcji falowej i jej pochodnej (ciągłość prądu prawdopodobieństwa) dla ${\displaystyle x=-a}$ i ${\displaystyle x=a.}$ Warunki te dają równanie liniowe

${\displaystyle {\begin{pmatrix}e^{-a\kappa }&-\cos(ka)&\sin(ka)&0\\\kappa e^{-a\kappa }&-k\sin(ka)&-k\cos(ka)&0\\0&\cos(ak)&\sin(ka)&-e^{-a\kappa }\\0&-k\sin(ka)&k\cos(ka)&\kappa e^{-a\kappa }\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}A\\B\\C\\D\end{pmatrix}}=0}$

Warunkiem istnienia nietrywialnego rozwiązania jest znikanie wyznacznika powyższej macierzy. Daje to dwa warunki

${\displaystyle \kappa =-k\operatorname {ctg} (ka),}$

${\displaystyle \kappa =k\operatorname {tg} (ka).}$

Wygodnie jest zdefiniować nowe zmienne: ${\displaystyle x=ak}$ i ${\displaystyle y=a\kappa }$ wtedy równania (4) i (5) dają równanie okręgu

${\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}}$

z promieniem

${\displaystyle r={\sqrt {{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}V_{0}}}.}$

Warunki na ciągłość funkcji falowej prowadzą więc to warunku przecięcia okręgu z funkcją: ${\displaystyle y=-x\operatorname {ctg} (x)}$ lub ${\displaystyle y=x\operatorname {tg} (x).}$ W zależności od promienia ${\displaystyle r}$ (lub wysokości studni ${\displaystyle V_{0}}$) istnieje wiele rozwiązań które na podstawie równania (5) wyznaczają kolejne stany własne cząstki w studni potencjału. Z wykresu przedstawiającego rozwiązania dla stanu podstawowego widać, że istnieją dwa takie rozwiązania z: ${\displaystyle -x_{0}}$ i ${\displaystyle +x_{0}}$ o tej samej energii (na podstawie wzoru (5)). Jest to konsekwencja symetrii parzystości. Konsekwencją tej symetrii jest degeneracja widma (istnieją dwie funkcje falowe o różnej parzystości dla tego samego poziomu energetycznego).

Zobacz też

• cząstka w pudle potencjału
• studnia kwantowa

Mechanika kwantowa

• Wprowadzenie
• Aparat matematyczny
• Równanie Schrödingera

Tło	Mechanika klasyczna Mechanika kwantowa Ciało doskonale czarne Wczesna teoria kwantowa Interferencja Notacja Diraca Hamiltonian
Koncepcje podstawowe	Funkcja falowa Stan kwantowy Stan podstawowy Stan stacjonarny Równanie własne Cząstka w pudle potencjału Cząstki identyczne Kwantowy oscylator harmoniczny Spin Superpozycja Liczby kwantowe Splątanie kwantowe Pomiar Nieoznaczoność Reguła Pauliego Dualizm korpuskularno-falowy Dekoherencja kwantowa Twierdzenie Ehrenfesta Tunelowanie
Doświadczenia	Doświadczenie Younga Doświadczenie Davissona i Germera Doświadczenie Francka-Hertza Doświadczenie Sterna-Gerlacha Eksperymenty testujące twierdzenie Bella Doświadczenie Poppera Kot Schrödingera Problem testowania bomb Elitzura-Vaidmana Gumka kwantowa
Sformułowania	Obraz Schrödingera Obraz Heisenberga Obraz Diraca Mechanika macierzowa Suma po historiach
Równania	Równanie Schrödingera Równanie Pauliego Równanie Kleina-Gordona Równanie Diraca Wzór Rydberga
Interpretacje	Świadomość wywołuje kolaps Spójne historie kwantowe Kopenhaska Statystyczna Zmiennych ukrytych Teoria fali pilotującej de Broglie’a-Bohma Wielu światów Logika kwantowa Obiektywnego zalamania Prawdopodobieństwo kwantowe Relacyjna Stochastyczna Transakcjonalna
Zagadnienia zaawansowane	Informatyka kwantowa Teoria rozpraszania Kwantowa teoria pola Operatory kreacji i anihilacji Chaos kwantowy
Znani uczeni	Planck Bohr Sommerfeld Bose Kramers Heisenberg Born Jordan Pauli Dirac de Broglie Schrödinger von Neumann Wigner Feynman Candlin Bohm Everett Bell Wien

${\displaystyle \Delta x\,\Delta p\geqslant {\frac {\hbar }{2}}}$