Całka na przedziale nieograniczonym

Niech dla każdego ${\displaystyle A>a}$ funkcja

${\displaystyle f\colon [a,\infty )\to \mathbb {R} }$

jest całkowalna w przedziale ${\displaystyle [a,A].}$ Granicę

${\displaystyle \int \limits _{a}^{\infty }f(x)dx=\lim _{A\to \infty }\int \limits _{a}^{A}f(x)dx}$

nazywa się całką niewłaściwą funkcji ${\displaystyle f}$ w granicach od ${\displaystyle a}$ do ${\displaystyle \infty .}$ Jeżeli granica ta istnieje i jest skończona, to mówi się, że całka ta jest zbieżna, w przeciwnym przypadku mówi się, że jest rozbieżna. Analogicznie określa się całkę niewłaściwą w granicach od ${\displaystyle -\infty }$ do ${\displaystyle a}$ i od ${\displaystyle -\infty }$ do ${\displaystyle \infty {:}}$

${\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{a}f(x)dx=\lim _{A\to -\infty }\int \limits _{A}^{a}f(x)dx,}$

${\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }f(x)dx=\lim _{A\to -\infty ,\ B\to \infty }\int \limits _{A}^{B}f(x)dx.\quad \ \ (*)}$

Można udowodnić, że ostatnie wyrażenie (jeżeli ta granica istnieje) jest równe

${\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{c}f(x)dx+\int \limits _{c}^{\infty }f(x)dx,\quad \ \ (**)}$

gdzie ${\displaystyle c}$ jest dowolną liczbą rzeczywistą. Oprócz tego, istnienie obu całek z wyrażenia ${\displaystyle (**)}$ powoduje istnienie granicy z ${\displaystyle (*),}$ jeżeli te całki nie są równe nieskończonościom różnych znaków. Więc całkę ${\displaystyle (*)}$ można zdefiniować przez wyrażenie ${\displaystyle (**).}$

Całka funkcji nieograniczonej

Niech

${\displaystyle f\colon [a,b)\to \mathbb {R} }$

będzie funkcją, która jest ograniczona i całkowalna w dowolnym przedziale ${\displaystyle [a,b-\eta ],}$ gdzie ${\displaystyle 0<\eta <b-a,}$ oraz jest nieograniczona w każdym przedziale ${\displaystyle [b-\eta ,b)}$ na lewo od punktu ${\displaystyle b}$ (punkt taki nazywany jest punktem osobliwym funkcji ${\displaystyle f}$). Granicę

${\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x){\mbox{d}}x=\lim _{\eta \to 0}\int \limits _{a}^{b-\eta }f(x){\mbox{d}}x}$

nazywa się całką niewłaściwą funkcji ${\displaystyle f}$ w przedziale ${\displaystyle [a,b].}$ Gdy granica ta jest skończona, to mówi się, że całka ta jest zbieżna – w przeciwnym przypadku – tj. gdy jest nieskończona bądź nie istnieje, mówi się, że jest ona rozbieżna. Analogicznie określa się przypadek, gdy punkt ${\displaystyle a}$ jest punktem osobliwym.

W przypadku, gdy oba punkty ${\displaystyle a,b}$ są punktami osobliwymi, metoda definiowania jest analogiczna jak w podanej wyżej definicji całki ${\displaystyle \textstyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }f(x)\mathrm {d} x,}$ tj. można wykorzystać granicę podwójną albo napisać, że

${\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)dx=\int \limits _{a}^{c}f(x)dx+\int \limits _{c}^{b}f(x){\mbox{d}}x,\ \ \ a<c<b.}$

Analogicznie, z pomocą rozbicia przedziału, definiuje się całka o skończonej liczbie punktów osobliwych wewnątrz odpowiedniego przedziału. Tę samą metodę stosuje się do definiowania całki, w której i przedział jest nieskończony, i funkcja jest nieograniczona.

Warunkowa i bezwarunkowa zbieżność całki

Niech ${\displaystyle f}$ będzie funkcją określoną na pewnym przedziale ${\displaystyle (a,b)}$ poza, być może, skończoną liczbą punktów osobliwych. Wtedy całkę (niewłaściwą)

${\displaystyle I=\int \limits _{a}^{b}f(x){\mbox{d}}x}$

nazywa się zbieżną bezwzględnie, jeżeli całka

${\displaystyle \int \limits _{a}^{b}|f(x)|{\mbox{d}}x}$

istnieje i jest skończona. Gdy istnieje całka ${\displaystyle I,}$ ale nie istnieje całka modułu, całkę ${\displaystyle I}$ nazywa się zbieżną warunkowo.

Dla przykładu, całka

${\displaystyle \int \limits _{0}^{\infty }{\frac {\sin x}{x}}{\mbox{d}}x={\frac {\pi }{2}}}$

jest warunkowo zbieżna. Wynika to z następującego kryterium porównywania z szeregiem, zastosowanym dla całki

${\displaystyle \int \limits _{0}^{\infty }{\frac {|\sin x|}{x}}{\mbox{d}}x.}$

Badanie zbieżności szeregu

Całka niewłaściwa ${\displaystyle \textstyle \int \limits _{a}^{b}f(x){\mbox{d}}x}$ istnieje i jest zbieżna wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ciągu ${\displaystyle (x_{n})}$ punktów przedziału ${\displaystyle [a,b],}$ gdzie

${\displaystyle a=x_{0}<x_{1}<\ldots <x_{n}<\ldots <b}$

oraz

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=b}$

szereg liczbowy

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\,\int \limits _{x_{n-1}}^{x_{n}}f(x){\mbox{d}}x}$

jest zbieżny.

Kryterium porównawcze

Jeżeli funkcje

${\displaystyle f,g\colon [a,\infty )\to \mathbb {R} }$

są nieujemne oraz istnieje taka liczba ${\displaystyle A\geqslant a,}$ że dla każdego ${\displaystyle x\geqslant A}$ zachodzi nierówność ${\displaystyle f(x)\leqslant g(x),}$ oraz całka ${\displaystyle \textstyle \int \limits _{a}^{\infty }g(x){\mbox{d}}x}$ jest zbieżna, to również całka ${\displaystyle \textstyle \int \limits _{a}^{\infty }f(x){\mbox{d}}x}$ jest zbieżna.

Powyższe kryterium można nieco wzmocnić i wypowiedzieć je w sposób następujący:

Kryterium Abela

Załóżmy, że funkcje ${\displaystyle f,g\colon [a,\infty )\to \mathbb {R} }$ są takie, że

1) ${\displaystyle \int \limits _{a}^{\infty }f(x)dx}$ jest zbieżna;

2) funkcja ${\displaystyle g(x)}$ jest monotoniczna i ograniczona.

Wówczas całka

${\displaystyle \int \limits _{a}^{\infty }f(x)g(x)dx}$

jest zbieżna.

Kryterium Dirichleta

Załóżmy, że funkcja ${\displaystyle f\colon [a,\infty )\to \mathbb {R} }$ jest całkowalna w każdym przedziale ${\displaystyle [a,A]}$ oraz

1) istnieje taka liczba nieujemna ${\displaystyle K,}$ że dla każdego ${\displaystyle A}$

${\displaystyle {\Bigg |}\int \limits _{a}^{A}f(x)dx{\Bigg |}\leqslant K;}$

2) funkcja ${\displaystyle g\colon [a,\infty )\to \mathbb {R} }$ jest zbieżna monotonicznie do ${\displaystyle 0}$ przy ${\displaystyle x\to \infty .}$

Wówczas całka

${\displaystyle \int \limits _{a}^{\infty }f(x)g(x)dx}$

jest zbieżna.

Całka funkcji wymiernej

Wszystkie funkcje wymierne ${\displaystyle {\tfrac {P(z)}{Q(z)}},}$ których mianownik nie ma pierwiastków rzeczywistych, a licznik jest co najmniej o dwa stopnie niższy niż mianownik, można obliczyć metodami analizy na liczbach zespolonych.

W obliczeniach będziemy stosowali pojęcie residuum funkcji. Jeżeli wewnątrz zamkniętej krzywej całkowania ${\displaystyle \Gamma }$ znajdą się bieguny ${\displaystyle z_{1},z_{2},\dots ,z_{n}}$ funkcji ${\displaystyle f}$ i ta funkcja jest analityczna we wszystkich innych punktach obszaru ograniczonego tą krzywą, to wartość całki wyniesie:

${\displaystyle \oint \limits _{\Gamma }f(z)\,dz=2\pi i\sum _{k=1}^{n}\mathrm {res} _{z_{k}}f(z),}$

gdzie ${\displaystyle \Gamma }$ to krzywa gładka, skierowana odwrotnie do ruchu wskazówek zegara.

Oznacza to, że całkę postaci

${\displaystyle \lim _{R\to +\infty }\int \limits _{-R}^{+R}f(z)\,dz}$

możemy rozpatrywać jako sumę całek od ${\displaystyle -R}$ do ${\displaystyle +R}$ wzdłuż osi rzeczywistej oraz po półokręgu o promieniu ${\displaystyle R}$ przechodzącym przez punkty ${\displaystyle +R,}$ ${\displaystyle Ri,}$ ${\displaystyle -R}$ i skierowanym przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

Kontynuując, można wykazać, że wartość tej całki będzie wynosiła:

${\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{+\infty }f(x)\,dx=2\pi i\sum _{k=1}^{N}\mathrm {res} _{z_{k}}f(z)}$

przy założeniu, że wszystkie punkty ${\displaystyle z_{1},z_{2},\dots ,z_{N}}$ znajdują się w górnej półpłaszczyźnie liczb zespolonych (ich część urojona jest większa od 0). Punkty leżące w dolnej półpłaszczyźnie liczb zespolonych ignorujemy.

Całka funkcji wymiernej z funkcjami trygonometrycznymi

Całki funkcji postaci ${\displaystyle f(x)\sin ax}$ bądź ${\displaystyle f(x)\cos ax}$ liczy się podobnie do całek z funkcji niewymiernych. Niezbędne jest jednak ich inne przekształcenie na całkę zespoloną:

${\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{+\infty }f(x)\sin ax\,dx=\oint \limits _{\Gamma }e^{azi}f(z)\,dz=2\pi i\sum _{k=1}^{N}\mathrm {res} _{z_{k}}e^{azi}f(z)}$

bądź

${\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{+\infty }f(x)\cos ax\,dx=\oint \limits _{\Gamma }e^{azi}f(z)\,dz=2\pi i\sum _{k=1}^{N}\mathrm {res} _{z_{k}}e^{azi}f(z).}$

Całki występujące w definicji niektórych rozkładów prawdopodobieństwa

• ${\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }~e^{-{\frac {x^{2}}{2\sigma ^{2}}}}{\mbox{d}}x={\sqrt {2\pi }}\sigma }$ – całka Gaussa, występuje w rozkładzie Maxwella.
• ${\displaystyle \int \limits _{0}^{\infty }~x^{\alpha }e^{-x}{\mbox{d}}x=\Gamma (\alpha +1)}$ – całka występująca w rozkładzie Boltzmanna.
• ${\displaystyle \int \limits _{0}^{\infty }~{\frac {x^{\alpha }{\mbox{d}}x}{e^{x}-1}}=\Gamma (\alpha +1)\zeta (\alpha +1)}$ – całka występująca w rozkładzie Bosego-Einsteina.
• ${\displaystyle \int \limits _{0}^{\infty }~{\frac {x^{\alpha }{\mbox{d}}x}{e^{x}+1}}=\Gamma (\alpha +1)\eta (\alpha +1)}$ – całka występująca w rozkładzie Fermiego-Diraca.

W tych przykładach

${\displaystyle \alpha }$ – dowolna dodatnia liczba rzeczywista,

${\displaystyle \Gamma (z)}$ – funkcja gamma Eulera,

${\displaystyle \zeta (z)}$ – funkcja zeta Riemanna,

${\displaystyle \eta (z)}$ – funkcja eta Dirichleta.