ࡱ> ;=:M Lbjbj=="bWW_$l  <B L $y  ]  }   ^ FF 6 a  FF0F FF W dziaBalno[ci gospodarczej realizowana jest zasada racjonalnego gospodarowania. Zasada ta orzeka, ze stojce do dyspozycji [rodki umo|liwiajce realizacje jakiego[ celu powinny by u|yte w sposb gwarantujcy maksymalna realizacje postanowionego celu. Zasada ta mo|e by stosowana wtedy, gdy zarwno cel jak i [rodki daj si uj w sposb ilo[ciowy. Stosowanie zasady racjonalnego gospodarowania sprowadza si w praktyce do rozwizywania tzw. zagadnieD optymalizacyjnych to znaczy optymalizacji decyzji przy okre[lonym kryterium optymalno[ci. Mo|emy mie przy tym do czynienia z zasada najwikszej efektywno[ci, je[li przy danym nakBadzie [rodkw uzyskuje si maksymalny stopieD ustalonego celu. Innym wariantem zasady racjonalnego gospodarowania jest zasada najmniejszego nakBadu [rodkw. Mamy z ni do czynienia wwczas, gdy ustalone zadania produkcyjne uzyskujemy przy najmniejszych nakBadach [rodkw. Plan zgodny z zasada racjonalnego gospodarowania nazywamy planem optymalnym. Jest to wiec taki plan, przy ktrym zadania produkcyjne osiga si przy najmniejszych nakBadach [rodkw, lub z danych nakBadw osigany jest maksymalny efekt produkcyjny. Dla zbudowania planu optymalnego konieczna jest znajomo[ tzw. metod programowania matematycznego. Najbardziej znana metoda programowania matematycznego jest tzw. programowanie liniowe. Ze wzgldu na swoja efektywno[ znajduje ono liczne zastosowanie w praktyce. Przy jego pomocy ustala si na przykBad program przydziaBu produkcji z m zakBadw produkcyjnych do n hurtowni przy minimalizacji kosztw transportu. UkBada si tez optymalna diet przy m [rodkach |ywno[ciowych i n skBadnikach od|ywczych. Jednym z zasadniczych zaBo|eD le|cych u podstaw programowania liniowego jest zaBo|enie o proporcjonalno[ci wynikw do nakBadw. Modele programowania liniowego W dziaBalno[ci ekonomicznej podejmujc decyzje nale|y najpierw okre[li zbir dopuszczalnych decyzji D (okre[lony nierwno[ciami lub rwnaniami) a nastpnie sprecyzowa kryterium wyboru (tzn. funkcje celu, ktra ma osiga warto[ najwiksza, czy najmniejsza). Rozpatrywane jest zagadnienie, w ktrym funkcja f(x1,x2,...,xn) jest liniowa, jak rwnie| warunki qi(x1,x2,...,xn)(0 lub qi(x1,x2,...,xn)(0 dla i=1,2,...,m s liniowe a ponad to zada si, aby xk (0 dla k=1,2,...,n. Zmienne xk (k=1,2,...,n) nazywamy zmiennymi decyzyjnymi. Zagadnienie optymalizacyjne w postaci liniowej ma nastpujce postacie: Zagadnienie 1. Znalez wszystkie punkty (x1,x2,...,xn) o wspBrzdnych nieujemnych tzn. x1(0, x2(0,..., xn ( 0 speBniajce ukBad nierwno[ci (warunkw):  EMBED Equation.3  Dla ktrych funkcja celu: z=c1x1+c2x2+...+cnxn, Przyjmuje warto[ najwiksza. Zagadnienie 2. Znalez wszystkie punkty (x1,x2,...,xn) o wspBrzdnych nieujemnych tzn. x1(0, x2(0,..., xn ( 0 speBniajce ukBad nierwno[ci (warunkw):  EMBED Equation.3  Dla ktrych funkcja celu: z=c1x1+c2x2+...+cnxn, Przyjmuje warto[ najmniejsza. Z teorii dotyczcej zbiorw wypukBych oraz rozwizania nierwno[ci, wynika ze ka|da z nierwno[ci wystpujcych w podanych ukBadach przedstawia przy zaBo|eniu: (ai1) 2+(ai2) 2+...+(ain) 2>0, i=1,2,& ,m. Zbir wypukBy. Wiadomo, ze cze[ wsplna zbiorw wypukBych jest zbiorem wypukBym. Zatem zbir rozwizaD dopuszczalnych zadania 1 czy 2 jest zbiorem wypukBym, konkretnie zbiorem wielo[ciennym, majcym skoDczona liczb wierzchoBkw. Skorzystamy z tego w metodzie graficznej rozwizywania |daD programowania liniowego, jak rwnie| w metodzie simpleks. Metoda graficznego rozwizywania |daD programowania liniowego. Zadanie programowania liniowego w przypadku, gdy mamy do czynienia tylko z dwiema zmiennymi decyzyjnymi rozwizuje si Batwo w sposb graficzny: Przypu[my, ze funkcja celu zmiennych x1 i x2 jest Z=c1x1+c2x2, (c1>0, c2>0) A ukBad ma posta: a11x1+a12x2( b1 a21x1+a22x2( b2 gdzie aik>0 (I,k = 1,2) i b1,b2>o oraz x1(0, x2(0 (warunki brzegowe). Chodzi o znalezienie warto[ci zmiennych decyzyjnych x1,x2 takich, aby speBniony byB podany ukBad warunkw i aby funkcja celu Z=c1x2+c2x2 PrzyjmowaBa warto[ najwiksza. Oznaczajc przez l1 i l2 proste o rwnaniach: l1: a11x1+a12x2=b1, l2 : a21x1=a22x2=b2, To na pBaszczyznie Ox1x2 nierwno[ a11x1+a12x2(b1 speBniaj wspBrzdne wszystkich punktw pBaszczyzny znajdujcych si na lub pod prosta l1. Analogicznie nierwno[ a21x1+a22x2(b2 speBniaj wspBrzdne wszystkich punktw pBaszczyzny le|cych na lub pod prosta l2. Przyjmujc jeszcze warunki brzegowe x1(0 i x2(0 otrzymujemy, ze obszar rozwizaD dopuszczalnych tworz punkty pierwszej wiartki ukBadu wspBrzdnych le|ce rwnocze[nie pod prostymi l1 i l2 lub na nich, a wiec wspBrzdne wszystkich punktw czworokta OABC (patrz rysunek 1). Je[li w funkcji celu z=c1x1+c2x2 zmienia si z, to rwnanie to przedstawia pk prostych rwnolegBych. Przedstawmy ten pk prostych w postaci kierunkowej:  EMBED Equation.3  Im wiksze jest, z (czyli im wikszy jest stopieD realizacji funkcji celu) tym wy|ej jest poBo|ona odpowiednia prosta z pku prostych rwnolegBych. Najwy|ej poBo|ona spo[rd nich prosta, ktra ma przynajmniej jeden punkt wsplny z czworoktem OABC, przedstawia (tzn. punkt wsplny) rozwizanie optymalne. Rysunek 1. PrzykBad 1. Przedsibiorstwo produkuje wyroby A i B przy pomocy trzech rodzajw tokarek T1, T2, T3. zdolno[ produkcyjna w tysicach sztuk na rok (Z.P.) poszczeglnych tokarek jest nastpujca: T1T2T3A65B6410 Zysk na jednostce wyrobu a wynosi 2 jednostki pieni|ne, a na jednostce B wynosi cztery jednostki pieni|ne. Okre[li rozmiary produkcji wyrobw A i B, aby przedsibiorstwo osignBo zysk maksymalny. Warunki przykBadu przeBo|ymy na jzyk nierwno[ci i funkcji. Oznaczymy roczna produkcje wyrobu A przez x1, a wyrobu B przez x2. Zgodnie z warunkami zadania roczny zysk z tej produkcji (funkcja celu) wynosi: Z=2x1+4x2 Przy czym x1(0 i x2(0. Poniewa| zdolno[ci produkcyjne w cigu roku tokarek s ograniczone wiec: x1+x2(6 gdy| produkcja nie mo|e by wiksza od zdolno[ci produkcyjnej tokarek T1 x2(a gdy| produkcja wyrobu B nie mo|e by wiksza od zdolno[ci produkcyjnej tokarek T2 2x1+x2(10 gdy| produkcja obu wyrobw nie mo|e by wiksza od zdolno[ci produkcyjnej tokarek T3 Rysunek 2 Rozwizanie zadania sprowadza si do znalezienia optymalnego ze wzgldu na funkcje celu z=2x1+4x2 punktu obszaru okre[lonego nierwno[ciami:  EMBED Equation.3  W tym celu rysujemy proste l1: x1+x2=6, l2: x2=4, l3 : 2x1+x2=10. Obszarem rozwizaD dopuszczalnych (le|y w I wiartce, patrz rysunek 2) jest piciokt OABCD. Wezmy teraz pod uwag funkcje celu z=2x1+4x2. Przyjmujc z=0 otrzymujemy prosta p: 2x1+4x2=0. Prosta ta w szczeglno[ci przechodzi przez punkty (2,-1) i (0,0). Proste odpowiadajce funkcji celu dla ro|nych warto[ci z s rwnolegle do prostej p (2x1+4x2=0). Im wiksza jest warto[ z, tym wy|ej (i bardziej na prawo) le|y odpowiednia prosta. Zatem najwy|szy zysk odpowiada prostej rwnolegBej do prostej P przechodzcej przez obszar rozwizaD dopuszczalnych poBo|onej mo|liwie najwy|ej. Z rysunku wida, ze punktem rozwizaD odpowiadajcych najwy|szemu zyskowi jest punkt C(2,4). Zatem gdy przedsibiorstwo bdzie produkowa 2000 sztuk rocznie wyrobu A i 4000 sztuk wyrobu B, to osignie najwy|szy zysk. PrzykBad 2. Dieta |oBnierza skBada si z dwch [rodkw |ywno[ciowych z chleba i misa, zawierajcego dwa skBadniki od|ywcze np.: kalorii i proteiny. Jednostka wagowa chleba zawiera 1 jednostk protein oraz 5 jednostek kalorii, a jednostka wagowa misa zawiera 5 jednostek protein oraz 1 jednostk kalorii. {oBnierz powinien otrzyma dziennie, co najmniej 15 jednostek kalorii i 15 jednostek protein. Przy jakiej diecie koszt bdzie najmniejszy, je[li cena chleba wynosi 1, a cena misa 3 jednostki pieni|ne. Warunki zadania przeBo|ymy na jzyk nierwno[ci i funkcji. Przypu[my, ze |oBnierz otrzymuje dziennie x1 jednostek chleba i x2 jednostek misa. Koszt dzienny utrzymania |oBnierza (funkcja celu) wynosi: Z=x1+3x2 Obszar rozwizaD dopuszczalnych okre[lony jest nastpujcymi nierwno[ciami (patrz rysunek 3): x1+5x2(15 (ilo[ jednostek protein otrzymanych w chlebie i misie nie mo|e by mniejsza od 15 jedni stek) Rysunek 3. 5x1+x2(15 (ilo[ jednostek kalorii otrzymanych w chlebie i misie nie mo|e by mniejsza od 15 jednostek) Oraz musi le|e w pierwszej wiartce (x1(0 i x2(o). Rysujemy proste l1: x1+5x2=15, l2: 5x1+x2=15. Obszar rozwizaD dopuszczalnych le|y na i powy|ej prostych l1 i l2, czyli jest to obszar wypukBy nieskoDczony ograniczony odcinkami AB i BC oraz odpowiednimi cz[ciami osi Ox1 i Ox2. Biorc pod uwag funkcje celu z=x1+3x2 i przyjmujc z=0 otrzymujemy prosta p: x1+3x2=0, ktra w szczeglno[ci przechodzi przez punkty (-3,1) oraz (0,0). Proste odpowiadajce funkcji celu z=x1+3x2 dla ro|nych warto[ci z s rwnolegle do prostej p(x1+3x2=0). Im mniejsza warto[ z, tym ni|ej (i bardziej na lewo) le|y odpowiednia prosta. Zatem najmniejszy koszt odpowiada prostej rwnolegBej do prostej p przechodzcej przez obszar rozwizaD dopuszczalnych i poBo|onej mo|liwie najni|ej. Z rysunku wida, ze punktem rozwizaD odpowiadajcym najni|szemu kosztowi jest punkt B (5/2,5/2). Oznacza to, ze najtaDsza dieta powinna si skBada z dwch i pl jednostek wagowych chleba i dwch i pl jednostek wagowych misa. "$PR"$JLNP$&LNPR8!!!!!!D"F"P"R"$$%%&&&&))** *"*H..111122*3,3mHsH jEHUjA CJUVaJ jmH sH mH sH  jCEHUjHA CJUVaJ jEHUjA CJUVaJ jU j jB 24>"RT$TVX8J`LJL X!!!!!~"x####$%%)$*&*,,,,,,,,,,,,,,,,,<.>.@.B.D.$If D.F.H.N.T.Z.\.`.d.f.j.l.p.n,hhhhn hhhhn(h$If$$IfF\#064 Fa p.t.x.~...0112&33hfffffff$$IfF\#064 Fa$If ,333555555(C*C.D0DFEHETEVEL j jEHUjA CJUVaJ jU j344444444555<<<<@LB^BCCDD D DDDDDDDDDDD DDDL 1h. A!"#$%CDd J  C A? "2qT䄻~&sD`!yqT䄻~&s X! GxڕkSQϹ7?{јZ2X&trr UzҼt(RW !S]D..Q7,&~?2 ?Y|fw f3 9+8"RU,̤1T\>ƦW;[wև{Žܿ㿪x*2񭴇Qw . n"d"04]jQ70P)׳Xp˻WQQyO_2iѩo^ (k?z}{diF{n۬] j76N{[Wey+:Q?;GS6SHc~zݍ|ë \DZ.i; h $x[U`3&Tྪ[,Po:= = [HIRѬyW΅BDd J  C A? "2R=rB¥`!xR=rB¥ X! FxڕkQϹ7L6M-T ]N|{ >'HAEQp']PDDT [h7)9%nr;/ι3, 1DC6L.J U;Hc;../|M δzWV7;Žܻ_UˤL|+a^Bew r!T~ 5(o}0Q)/5o[pÿ\#<#+Q}.ISQ3FR݈zg]㏨vʸWxCH+H񅟭 K1'7TqXtzz((z# wpI)͚LquX]ίeDdlJ  C A? "2e@|!& >:JZlr`!e@|!& >:JZlr wixcdd``e 2 ĜL0##0KQ* Wy A?d.@=P5< %!@5 @_L ĺETX@,a +LlL, L '0`bM-VK-WMc Z ` P{q0wpd*!%l a%L |d; >{Irs p{+vgܝ,cP L> X  I9 @\qĝL 0sA*1p=pHVrAS8@LEJ[+KRsAb\Дr$0ckzDd0J  C A? "2|kވě. `!|kވě %HxڕK@ݥi~,8tqc[(X+v,N:g88/Exw=b%swI `v$0qaDpdHS5A59)ت4J?qlSLtS֏A'N kP|oҁx .Rճր)7MI ;QPQG"x"~[f|+lv=aw}@ Data 2WordDocument"bObjectPoolpa a _1098909593Fpa pa Ole CompObjfObjInfo  "#$%&'(*+,-.0 FRwnanie Microsoft 3.0 DS Equation Equation.39qR a11x1+a12x2+...+a1nxnd"b1,a21x1+a22x2+...+a2nxnd"b2,..Equation Native n_1098914888 F9a 9a Ole  CompObj f.am1x1+am2x2+...+amnxnd"bm{ FRwnanie Microsoft 3.0 DS Equation Equation.39qRH| a11x1+a12x2+...+a1nxnObjInfo Equation Native n_1098911456 F a  a Ole e"b1,a21x1+a22x2+...+a2nxne"b2,...am1x1+am2x2+...+amnxne"bm{ FRwnanie Microsoft 3.0 DS Equation Equation.39qCompObjfObjInfoEquation Native o_1098912930Fa a S@0$ x1="c1c2x1+zc2 FRwnanie Microsoft 3.0 DS Equation Equation.39q0< x1+x2d"6x2d"42x1+x2d"10Ole CompObjfObjInfoEquation Native x1e"0x2e"0{Oh+'0 ,@ Xd   OW dziaalnosci gospodarczej realizowna jest zasada racjonalnego gospodarowania dzPawe Tomczyk gaweawe Normal.dotyPawe Tomczyk g15eMicrosoft Word 9.0o@ph @1TableISummaryInformation(!DocumentSummaryInformation8)|CompObj/j2@M B՜.+,0L hp  +P.T.S. EXPOL Sp. z o.o.?$ OW dziaalnosci gospodarczej realizowna jest zasada racjonalnego gospodarowania Tytu  FDokument Microsoft Word MSWo iB@B StandardowyCJ_HaJmHsHtHBA@B Domy[lna czcionka akapitu_$bxw x  ) * D Z x y  * + , F \ { |  F G y?@DEPQRSTUVWXYZ[\h !"#$'*-.023568:<?@A BISTUVWXY]^_k\&/         z { a$0000000000000000000@00@000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000,3L'.J,D.p.3DL(*+,-/0L) % '  & ( _$::::a$a$EP.@&.a$ PaweB TomczykC:\Documents and Settings\ptomczyk\Dane aplikacji\Microsoft\Word\Zapisywanie informacji potrzebnych do odtworzenia W dziaBalnosci gospodarczej realizowna jest zasada.asd PaweB TomczykC:\Documents and Settings\ptomczyk\Dane aplikacji\Microsoft\Word\Zapisywanie informacji potrzebnych do odtworzenia W dziaBalnosci gospodarczej realizowna jest zasada.asd PaweB TomczykC:\Documents and Settings\ptomczyk\Dane aplikacji\Microsoft\Word\Zapisywanie informacji potrzebnych do odtworzenia W dziaBalnosci gospodarczej realizowna jest zasada.asd PaweB TomczykhC:\Documents and Settings\ptomczyk\Moje dokumenty\W dziaBalnosci gospodarczej realizowna jest zasada.doc PaweB TomczykC:\Documents and Settings\ptomczyk\Dane aplikacji\Microsoft\Word\Zapisywanie informacji potrzebnych do odtworzenia W dziaBalnosci gospodarczej realizowna jest zasada.asd PaweB TomczykC:\Documents and Settings\ptomczyk\Dane aplikacji\Microsoft\Word\Zapisywanie informacji potrzebnych do odtworzenia W dziaBalnosci gospodarczej realizowna jest zasada.asd PaweB TomczykhC:\Documents and Settings\ptomczyk\Moje dokumenty\W dziaBalnosci gospodarczej realizowna jest zasada.doc PaweB TomczykhC:\Documents and Settings\ptomczyk\Moje dokumenty\W dziaBalnosci gospodarczej realizowna jest zasada.doc PaweB TomczykC:\Documents and Settings\ptomczyk\Dane aplikacji\Microsoft\Word\Zapisywanie informacji potrzebnych do odtworzenia W dziaBalnosci gospodarczej realizowna jest zasada.asd PaweB TomczykhC:\Documents and Settings\ptomczyk\Moje dokumenty\W dziaBalnosci gospodarczej realizowna jest zasada.doc !"#$'*-.023568:<?@a$@yX _$ppp"p$p*p0pDUnknownGz Times New Roman5Symbol3& z Arial"}kkB?!r0d$^$2NW dziaBalnosci gospodarczej realizowna jest zasada racjonalnego gospodarowania PaweB Tomczyk PaweB TomczykrdDocWord.Document.89q