Prędkości kosmiczne

Asysta (wsparcie grawitacyjne) jest w zasadzie przekazaniem części energii kinetycznej dużego ciała kosmicznego (praktycznie planety) podróżującemu statkowi kosmicznemu.

Należy w tym celu wykonać manewr, który w swej optymalnej formie będzie przypominał sprężyste "odbicie" statku od planety. Powinniśmy poruszać się w kierunku planety z prędkością v, po silnie spłaszczonej orbicie hiperbolicznej, natomiast planeta powinna poruszać się w kierunku przeciwnym (na wprost nas) z prędkością U. Z punktu widzenia planety, najpierw spadamy w jej kierunku z prędkością U+v, następnie (po okrążeniu planety po orbicie hiperbolicznej) odlatujemy w przestrzeń również z prędkością U+v. Jednak z punktu widzenia obserwatora zewnętrznego (np. Słońca) uzyskujemy końcową prędkość 2U+v, podczas gdy planeta w zasadzie nie zmienia swej prędkości (zakładając, że masa statku m jest zaniedbywalnie mała w porównaniu z masą planety M). Przypomina to odbicie (w czołowym zderzeniu) niewielkiej kuli bilardowej od kuli wielokrotnie większej. Dokładniej, z zasady zachowania energii i pędu otrzymujemy następujące związki między prędkościami przed i po
wykonaniu manewru:

M*U12 + m v12 = M *U22 + m*v22

M*U1 - m*v1 = M*U2 + m*v2

Rozwiązując względem v2 otrzymujemy:
v2 = ((1-q)v1 + 2*U1)/(1+q)

Ponieważ q jest bliskie 0, możemy to przybliżyć otrzymanym wcześniej oszacowaniem v2 = v1 + 2*U1. Oczywiście większość rzeczywistych manewrów nie jest prostym zwrotem o 180 stopni, jednak zasada ogólna pozostaje ta sama. Załóżmy, że planeta porusza się wzdłuż osi x, a ruch statku kosmicznego odbywa się w płaszczyźnie x,y. Załóżmy też, że pierwotny (asymptotyczny) kierunek lotu statku przecina oś x pod kątem theta, oraz że tor lotu jest symetryczny względem x. Pierwotny wektor prędkości statku to:

v1x = -v1*cos(theta) v1y = v1*sin(theta)

natomiast wektor prędkości końcowej:
v2x = v1*cos(theta) + 2u v2y = v1*sin(theta)

Tak więc prędkość początkowa wynosi v1, a końcowa:
v2 = (v1 + 2*u) sqrt[ 1 - 4*u*v1(1-cos(theta))/(v1+2*u)2 ]
sqrt()-pierwiastek kwadratowy

Rozważmy dla przykładu prędkość początkową równą U (zarówno dla
planety, jak statku). Wówczas powyższa zależność upraszcza się do:
v2 = v1*sqrt[5 + 4*cos(theta)]

stąd dla theta=0 mamy v2 = 3 v1. Z drugiej strony, dla theta=pi mamy v2 = v1, co jest zrozumiałe, gdyż odpowiada sytuacji ruchu planety i statku w tym samym kierunku i z tą samą prędkością. Bardziej realistyczny jest przypadek, gdy statek porusza się prawie prostopadle do toru ruchu planety (theta = pi/2) i przelatuje tuż za nią. W tym przypadku statek doznaje odchylenia w kierunku ruchu planety o kąt zgodny z powyższymi wzorami, przy czym prędkość rośnie sqrt(5) = 2.23 razy w stosunku do pierwotnej.

Gdyby planety były punktowe, teoretycznie możliwe jest osiągnięcie nieskończonej prędkości w skończonym czasie dzięki przelotom w pobliżu odpowiednio dobranego ich zestawu (w dość wymyślnym układzie planetarnym). Oczywiście w praktyce uzyskiwane prędkości są ograniczone przez to, że pole grawitacyjne planet rozciągające się w bezpiecznej odległości poza ich powierzchnią i atmosferą może być zbyt słabe na "przechwycenie" (wymaganą zmianę kierunku lotu) zbyt szybko poruszającego się statku. Podczas misji NASA sondy wielokrotnie przy okazji tego typu manewrów muskały górne warstwy atmosfery Wenus i Ziemi.

I prędkość kosmiczna to prędkość, jaką należy nadać obiektowi, aby mógł on orbitować wokół Ziemi lub innego ciała kosmicznego, np. planety. Ściśle jest to prędkość na kołowej orbicie o promieniu równym średniemu promieniowi danego ciała kosmicznego, wokół punktowej (lub kulistej, o sferycznie równomiernym rozkładzie gęstości) masy, równej masie tego ciała. Oczywiście jest to pewna idealizacja i nie odpowiada rzeczywistemu przypadkowi np. rakiety startującej z Ziemi, która to musi pokonać jeszcze opory atmosfery i dodatkowo wznieść się na wysokość, na której atmosfera jest wystarczająco rozrzedzona, dla normalnego ruchu orbitalnego.

Prędkość tą otrzymamy obliczając przyspieszenie grawitacyjne:
a=F/m=G*M/r2 i porównując z przyspieszeniem dośrodkowym w ruchu po okręgu a=v2/r. Stąd v=sqrt(G*M/r),
gdzie G - stała grawitacji, M - masa ciała kosmicznego, r - promień ciała kosmicznego.

Po podstawieniu wartości liczbowych dla Ziemi dostajemy v1=7,91 km/s. W rzeczywistości rakiety startując z Ziemi na wschód otrzymują już część prędkości z ruchu rotacyjnego planety. Dlatego też kosmodromy najchętniej buduje się jak najbliżej równika, gdzie zysk prędkości jest największy (w przypadku startu z równika Ziemi wynosi ok. 463 m/s).

II prędkość kosmiczna to prędkość, jaką należy nadać obiektowi, aby wyrwał się z grawitacji danego ciała kosmicznego. Ściśle jest to prędkość, jaką musi otrzymać dany obiekt na powierzchni danego ciała kosmicznego, aby tor jego ruchu stał się parabolą lub hiperbolą. Obliczamy ją znajdując różnicę w energii obiektu znajdującego się na powierzchni danego ciała kosmicznego oraz w nieskończoności. Energia w nieskończoności równa jest 0, natomiast na powierzchni jest sumą energii potencjalnej -G*M*m/r oraz kinetycznej m*v2/2. Dostajemy więc równanie m*v2/2-G*M*m/r=0, z którego wynika v=sqrt(2*G*M/r). Podstawienie danych liczbowych dla Ziemi daje v2=11,19 km/s. Widać więc, że obie prędkości różnią się o czynnik sqrt(2)=1,4142... Wszystko to przy założeniu, że nie ma innego ciała kosmicznego oprócz rozpatrywanego - a że zwykle inne ciała są (w przypadku np. Układu Słonecznego), więc tor lotu w praktyce nie jest parabolą, bo zaginają go po swojemu oddziaływania grawitacyjne tych innych ciał (Słońca, Księżyca...).

III prędkość kosmiczną definiujemy analogicznie do drugiej, tym razem za obiekt, z którego uciekamy, przyjmując Układ Słoneczny. Zachowując warunek, że jest to prędkość liczona względem powierzchni Ziemi, za r musimy wstawić średnią odległość Ziemi od Słońca, za M masę Słońca (która skupia większość masy układu). Daje to v3=42 km/s. Warto jednak pamiętać, że startująca rakieta ma już pewną prędkość związaną z orbitalnym ruchem ciała kosmicznego, więc w istocie nie musi ona się rozpędzać aż do tej prędkości, wystarczy około 16,7 km/s dla startu z Ziemi. Sondy, które opuściły nasz Układ Słoneczny część energii otrzymały także kosztem planet olbrzymów (asysta grawitacyjna). Zasadniczo podaje się ją względem Słońca, ale można podać dla innego punktu startu (im dalej od ciała, tym mniejsza prędkość ucieczki).

Można się jeszcze spotkać z czwartą prędkością kosmiczną, którą definiujemy analogicznie do dwóch poprzednich przyjmując, że jest to prędkość ucieczki z naszej Galaktyki. Wynosi ona około 350 km/s, lub uwzględniając ruch Słońca ok. 130 km/s. Niektórzy autorzy skłonni są definiować także piątą prędkość kosmiczną, jako prędkość ucieczki z wszechświata. Jej obliczenie jest jednak niemożliwe, ze względu na naszą nikłą wiedzę odnośnie jego globalnej budowy. W wątpliwość należy poddać, czy taka prędkość w ogóle może istnieć