Definicja

Podzbiór przestrzeni topologicznej nazywamy zbiorem typu ${\displaystyle G_{\delta }}$ (czyt. „zbiorem typu gie delta”), gdy jest on przekrojem przeliczalnej rodziny zbiorów otwartych.

Według nowszej terminologii (zob. Hierarchia zbiorów borelowskich) zbiory typu ${\displaystyle G_{\delta }}$ to inaczej zbiory klasy ${\displaystyle \Pi _{2}^{0}.}$

Własności

Jest widoczne wprost z definicji, że przecięcie przeliczalnie wielu zbiorów typu ${\displaystyle G_{\delta }}$ jest też zbiorem tego typu; wykazuje się, że jest nim również suma skończenie wielu takich zbiorów.

Dopełnienie zbioru ${\displaystyle G_{\delta }}$ jest zbiorem F_σ i na odwrót. Każdy zbiór otwarty jest typu ${\displaystyle G_{\delta },}$ a w przestrzeniach metryzowalnych również zbiory domknięte są tego typu.

Przykłady

• Zbiór liczb niewymiernych jest zbiorem typu ${\displaystyle G_{\delta },}$ można go bowiem zapisać jako przekrój

${\displaystyle \bigcap _{q\in \mathbb {Q} }\mathbb {R} \setminus \{q\}.}$

• Zbiór liczb wymiernych nie jest zbiorem typu ${\displaystyle G_{\delta }}$ (ten nietrywialny fakt jest konsekwencją twierdzenia Baire’a).
• Można wykazać, że zbiór punktów ciągłości dowolnej funkcji ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ jest typu ${\displaystyle G_{\delta }.}$

Z powyższych przykładów wynika w szczególności, że nie może istnieć funkcja o dziedzinie ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ciągła we wszystkich punktach wymiernych i tylko w nich. (Da się natomiast udowodnić istnienie funkcji określonej na ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ której zbiorem punktów ciągłości jest zbiór liczb niewymiernych).

Zobacz też

• zbiór borelowski
• zbiór typu F-sigma