Utrata cyfr znaczących – zjawisko pojawiające się w obliczeniach komputerowych, konsekwencja zapisu liczb rzeczywistych w komputerze. Występuje ona np. podczas odejmowania liczb, których różnica jest znacznie mniejsza niż każda z tych liczb. W efekcie liczba cyfr znaczących wyniku maleje do nieakceptowalnie niskiego poziomu. Sposoby ograniczania bądź unikania takich efektów bada analiza numeryczna.

Wytłumaczenie zjawiska

Niech ${\displaystyle x}$ i ${\displaystyle y}$ będą bliskimi liczbami, których różnica jest znacznie mniejsza od każdej z nich. Niech ${\displaystyle rd(x)}$ i ${\displaystyle rd(y)}$ oznacza reprezentację liczb odpowiednio ${\displaystyle x}$ i ${\displaystyle y}$ w pamięci komputera. Liczby ${\displaystyle x}$ oraz ${\displaystyle y}$ dane są w postaci ${\displaystyle rd(z)=\pm m_{t}\cdot 2^{c},}$ gdzie ${\displaystyle m_{t}}$ jest mantysą – liczbą długości ${\displaystyle t}$ taką, że ${\displaystyle m\in \left(0,{\frac {1}{2}}\right\rangle ,}$ a ${\displaystyle c}$ jest cechą – dowolną liczbą całkowitą

${\displaystyle {\begin{matrix}rd(x)=&\pm &0.&1&c_{1}&\dots &c_{t-i}&c_{t-i+1}&\dots &c_{t}\\rd(y)=&\pm &0.&1&d_{1}&\dots &d_{t-i}&d_{t-i+1}&\dots &d_{t}\\rd(x)-rd(y)=&\pm &0.&0&0&\dots &0&1&\dots &c_{t}-d_{t}\end{matrix}}}$

W wyniku odejmowania bliskich liczb powstaje liczba zawierająca na pierwszych ${\displaystyle t-i}$ pozycjach zera, na pozostałych pozycjach co najmniej jedną jedynkę. Liczba będąca wynikiem odejmowania musi być znormalizowana, tj. przedstawiona w postaci:

${\displaystyle rd(x-y)=\pm m_{t}\cdot 2^{c},}$

gdzie ${\displaystyle m\in \left(0,{\frac {1}{2}}\right\rangle .}$

Aby otrzymać mantysę spełniającą ten warunek, należy „obciąć” początkowe zera w liczbie ${\displaystyle x-y}$ (poprzez pomożenie przez ${\displaystyle 2^{n-i}}$) – wtedy jednak ostatnie niezerowe cyfry na pozycjach ${\displaystyle x-y}$ zostaną przesunięte na pierwsze pozycje, i jeżeli ${\displaystyle i<t,}$ nie będzie wiadomo, czym zapełnić pozostałe miejsca w mantysie (właściwe zostały wcześniej odrzucone, przez zaokrąglenie ${\displaystyle x}$ i ${\displaystyle y}$). Przyjęcie, że te utracone pozycje zostaną zapełnione np. zerami, jest tak samo dobre jak założenie, że zostaną one zapełnione losowymi liczbami – w obu wypadkach będą to bezwartościowe dane, niemające wiele wspólnego z rzeczywistym, lub choćby do niego zbliżonym wynikiem.

Gdy różnica ${\displaystyle |x-y|}$ dąży do zera, błąd względny ${\displaystyle z}$ rośnie nieograniczenie.

Przykłady