Odwzorowanie Stone’a

Niech ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ będzie kratą rozdzielną i niech ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{\mathcal {K}}=\{F\subseteq |{\mathcal {K}}|\colon \,F{\text{ jest filtrem pierwszym}}\;\}.}$ Niech dalej

${\displaystyle {\boldsymbol {\Phi }}(a):=\{F\in {\mathcal {S}}_{\mathcal {K}}\colon \;a\in F\,\}\;,\quad a\in |{\mathcal {K}}|.}$

Odwzorowanie ${\displaystyle {\boldsymbol {\Phi }}\colon {\mathcal {K}}\to \wp {\big (}{\mathcal {S}}_{\mathcal {K}}{\big )}}$ nazywamy odwzorowaniem Stone’a.

Dowód twierdzenia o reprezentacji

Pokażemy, że odwzorowanie Stone’a jest monomorfizmem kraty ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ w kratę mnogościową na zbiorze ${\displaystyle \wp {\big (}{\mathcal {S}}_{\mathcal {K}}{\big )}.}$

Różnowartościowość

Niech ${\displaystyle a\neq b,\,a,b\in |{\mathcal {K}}|.}$ Bez straty ogólności możemy założyć, że ${\displaystyle a\not \leqslant b,}$ wówczas z twierdzenia o filtrze pierwszym, istnieje filtr pierwszy ${\displaystyle F,}$ dla którego ${\displaystyle a\in F}$ i ${\displaystyle b\not \in F.}$ Wówczas ${\displaystyle F\in {\boldsymbol {\Phi }}(a)\setminus {\boldsymbol {\Phi }}(b),}$ czyli ${\displaystyle {\boldsymbol {\Phi }}(a)\neq {\boldsymbol {\Phi }}(b).}$

Zgodność z działaniami

Mamy:

${\displaystyle F\in {\boldsymbol {\Phi }}(a\sqcap b)\;\Leftrightarrow \;a\sqcap b\in F\;\Leftrightarrow \;a,b\in F\;\Leftrightarrow \;F\in {\boldsymbol {\Phi }}(a)\cap {\boldsymbol {\Phi }}(b),}$

skąd

${\displaystyle {\boldsymbol {\Phi }}(a\sqcap b)={\boldsymbol {\Phi }}(a)\cap {\boldsymbol {\Phi }}(b).}$

Dalej:

${\displaystyle F\in {\boldsymbol {\Phi }}(a\sqcup b)\;\Leftrightarrow \;a\sqcup b\in F\;\Leftrightarrow \;a\in F\,\vee \,b\in F\;\Leftrightarrow \;F\in {\boldsymbol {\Phi }}(a)\cup {\boldsymbol {\Phi }}(b),}$

skąd

${\displaystyle {\boldsymbol {\Phi }}(a\sqcup b)={\boldsymbol {\Phi }}(a)\cup {\boldsymbol {\Phi }}(b).}$

To kończy dowód.

Uwagi

Rodzina ${\displaystyle {\boldsymbol {\Phi }}{\grave {}}\,{\grave {}}|{\mathcal {H}}|}$ jest bazą pewnej przestrzeni topologicznej na ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{\mathcal {K}}.}$ Przestrzeń tę nazywa się przestrzenią Strone’a. Jak widać, odwzorowanie Stone’a jako wartości przyjmuje zbiory otwarte w tej przestrzeni i dlatego twierdzenie o reprezentacji krat rozdzielnych można sformułować następująco:

dowolna krata rozdzielna jest izomorficzna z podkratą kraty zbiorów otwartych pewnej przestrzeni topologicznej

W przypadku, gdy ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ jest reduktem algebry Boole’a, przestrzeń Stone’a jest zerowymiarową zwartą przestrzenią Hausdorffa (p. twierdzenie o reprezentacji algebr Heytinga).

Przykład

Krata rozdzielna i jej filtry

Jej obraz w reprezentacji Stone’a