Równanie Lapunowa – w teorii sterowania to jedno z następujących równań:

• dyskretne równanie Lapunowa:

${\displaystyle AXA^{H}-X+Q=0,}$

gdzie ${\displaystyle Q}$ jest macierzą hermitowską, a ${\displaystyle A^{H}}$ jest transpozycją sprzężoną macierzy ${\displaystyle A;}$

• dyskretne równanie Lapunowa w postaci:

${\displaystyle AX+XA^{H}+Q=0.}$

Równania Lapunowa występują w wielu zagadnieniach teorii sterowania takich jak analiza stabilności Lapunowa i sterowanie optymalne (zob. algebraiczne równanie Riccatiego).

Zastosowanie do stabilności

W poniższych twierdzeniach ${\displaystyle A,P,Q\in \mathbb {R} ^{n\times n},}$ i ${\displaystyle P}$ oraz ${\displaystyle Q}$ są symetryczne. Notacja ${\displaystyle P>0}$ oznacza, że macierz ${\displaystyle P}$ jest macierzą dodatnio określoną.

Aspekty obliczeniowe rozwiązań

Korzystając z uzupełnienia Schura, dyskretne równanie Lapunowa można zapisać w postaci:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}X^{-1}&A\\A^{H}&X-Q\end{bmatrix}}=0}$

lub równoważnie:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}X&XA\\A^{H}X&X-Q\end{bmatrix}}=0.}$

Przy rozwiązywaniu równań Lapunowa można posłużyć się dostępnym specjalistycznym oprogramowaniem. W przypadku dyskretnym często stosuje się metodę Schura podaną przez Kitagawa (1977). W przypadku ciągłym można posłużyć się metodą Bartelsa i Stewarta (1972).

Rozwiązanie analityczne

Dla równań dyskretnych czasu dyskretnego istnieje rozwiązanie analityczne. Definiuje się operator ${\displaystyle \operatorname {vec} (A)}$ jako złożenie kolumn macierzy ${\displaystyle A}$ (zob. wektoryzacja). Ponadto definiuje się ${\displaystyle kron(A,B)}$ jako iloczyn Kroneckera macierzy ${\displaystyle A}$ i ${\displaystyle B.}$ Korzystając z następującego wyniku:

${\displaystyle \operatorname {vec} (ABC)=kron(C^{T},A)\operatorname {vec} (B),}$

otrzymuje się:

${\displaystyle (I-kron(A^{T},A^{T}))\operatorname {vec} (X)=\operatorname {vec} (Q),}$

gdzie ${\displaystyle I}$ jest zgodną macierzą jednostkową.

Można wówczas znaleźć rozwiązanie ${\displaystyle \operatorname {vec} (X)}$ przez odwrócenie lub przez rozwiązanie równań liniowych. Aby uzyskać ${\displaystyle X}$ wystarczy odpowiednio przekształcić ${\displaystyle \operatorname {vec} (X).}$

Zobacz też

• algebraiczne równanie Riccatiego
• równanie Sylvestera
• Aleksandr Lapunow