Rozmieszczenie punktów libracyjnych w układzie Ziemia–Słońce

Położenie punktów libracyjnych oraz potencjał ciała obracającego się razem z układem podwójnym. Punkty libracyjne są punktami stacjonarnymi potencjału grawitacyjnego

Punkt libracyjny, punkt libracji, punkt Lagrange’a^[1] – miejsce w przestrzeni, w układzie dwóch ciał powiązanych grawitacją, w którym ciało o pomijalnej masie może pozostawać w spoczynku względem ciał układu. Punkt libracyjny nazywany jest także punktem Lagrange’a od nazwiska jego odkrywcy Josepha Lagrange’a.

Definicja

Dla każdego układu trzech ciał (dwa ciała główne i ciało próbne) występuje pięć takich punktów, oznaczanych na ogół od L₁ do L₅. Punkty L₁–L₃ znajdują się na linii przechodzącej przez ciała układu i są one niestabilne. Punkty L₄ i L₅ tworzą wraz z dwoma większymi ciałami trójkąt równoboczny i są liniowo stabilne, a dla niektórych stosunków niestabilne. Stabilność w tym przypadku oznacza, że jeżeli ciało będzie miało parametry ruchu niewiele różniące się od parametrów punktu, to pozostanie w okolicy tego punktu dowolnie długo. Niestabilność oznacza, że ciało takie oddali się od punktu libracyjnego.

Przykłady

W układzie Słońce–Ziemia ciało może pozostawać w spoczynku w układzie odniesienia, w którym Słońce i Ziemia spoczywają. W punktach tych następuje zrównoważenie sił grawitacji i bezwładności oddziałujących na ciało w układzie odniesienia związanym z tym ciałem.

W pobliżu punktów L₄ i L₅ układu Słońce–Jowisz krążą dwie grupy planetoid trojańskich.

Położenie punktów L₁–L₃

Dwa ciała o masie ${\displaystyle M_{1}}$ i ${\displaystyle M_{2}}$ powiązane siłami grawitacji, krążąc po orbitach kołowych, poruszają się po okręgach, których środkiem jest środek masy układu. Odległość między środkami tych ciał oznaczmy jako ${\displaystyle d.}$

Prędkość kątową obrotu ${\displaystyle \omega }$ określa wtedy wzór:

${\displaystyle \omega ^{2}=G{\frac {M_{1}+M_{2}}{d^{3}}},}$

gdzie ${\displaystyle G}$ oznacza stałą grawitacji.

Środek masy (obrotu) znajduje się w odległości z od ciała o ${\displaystyle M_{1}{:}}$

${\displaystyle z=d{\frac {M_{2}}{M_{1}+M_{2}}}.}$

Układ obracających się ciał może być przyjęty za układ odniesienia dla trzeciego ciała o masie ${\displaystyle m.}$ Na ciało znajdujące się w odległości ${\displaystyle x}$ od ciała ${\displaystyle M_{1}}$ działają siły ciał ${\displaystyle M_{1},}$ ${\displaystyle M_{2}}$ i siła bezwładności. Dla punktu znajdującego się między ciałami układu (L₁) siły działające na to ciało równoważą się, gdy:

${\displaystyle {\frac {GM_{2}m}{(d-x)^{2}}}+m\omega ^{2}(x-d{\frac {M_{2}}{M_{1}+M_{2}}})-{\frac {GM_{1}m}{x^{2}}}=0,}$

co odpowiada:

${\displaystyle {\frac {M_{2}}{(d-x)^{2}}}+{\frac {M_{1}+M_{2}}{d^{3}}}(x-d{\frac {M_{2}}{M_{1}+M_{2}}})-{\frac {M_{1}}{x^{2}}}=0.}$

Dla punktów L₂ i L₃ równanie zawiera takie same składniki, ale ze względu na zmianę zwrotów sił należy zmienić odpowiednio znaki dodawania i odejmowania.

Rozwiązanie analityczne równania nie jest możliwe. Przyjmując, że ciała układu znacznie różnią się masą (M₂<<M₁), punkty L₁ i L₂ są oddalone od ciała o mniejszej masie o^[2]:

${\displaystyle r\approx R{\sqrt[{3}]{\frac {M_{2}}{3M_{1}}}}.}$

Położenie punktów L₁ i L₂ w układzie:

• Słońce–Ziemia: 1 500 000 km od Ziemi,
• Ziemia–Księżyc: 60 000 km od Księżyca^[3].

Punkt L₃ znajduje się za ciałem o większej masie w odległości od niego nieco większej niż odległość ciała okrążającego ciało M₁:

${\displaystyle r\approx R\left(1+{\frac {5}{12}}{\frac {M_{2}}{M_{1}}}\right).}$

Położenie punktów L₄ i L₅

W układzie, w którym pierwsza współrzędna określona jest przez linię przechodzącą przez oba ciała, a druga jest do niej prostopadła, położenie punktu L₄ określają wzory^[2]:

${\displaystyle x={\frac {R}{2}}{\frac {M_{1}-M_{2}}{M_{1}+M_{2}}},}$

${\displaystyle y={\sqrt {3}}{\frac {R}{2}}.}$

Jeżeli masa M₂ jest dużo mniejsza od M₁, to punkt ten jest położony w niemal takiej samej odległości od ciała centralnego jak ciało okrążające i wyprzedza je na orbicie o kąt 60°.

Punkt L₅ jest lustrzanym odbiciem punktu L₄ względem prostej łączącej ciała.

Znaczenie praktyczne

Punkt L4 w układzie Ziemia–Księżyc

Punkty libracyjne są wykorzystywane jako szczególnie dogodne lokalizacje instalacji kosmicznych.

W układzie Ziemia–Słońce

Punkt L₁ znajduje się blisko Ziemi i jest ciągle oświetlany przez Słońce. Czyni go to użytecznym do prowadzenia obserwacji Słońca lub do pozyskiwania energii słonecznej. Na orbicie w pobliżu tego punktu zostało umieszczone obserwatorium SOHO. Punkt L₂ znajduje się stale w półcieniu Ziemi, co czyni go dobrym miejscem do prowadzenia obserwacji planet zewnętrznych lub obszaru poza Układem Słonecznym. Na orbitach w pobliżu tego punktu umieszczono m.in. Kosmiczne Obserwatorium Herschela, Kosmiczny Teleskop Jamesa Webba i satelitę Planck.

widok ze Słońca

widok z równika niebieskiego

widok z bieguna niebieskiego

Animacja trajektorii Kosmicznego Teleskopu Jamesa Webba.

W drugiej połowie 2009 w pobliżu punktów L₄ i L₅ przeleciały sondy STEREO, których głównym zadaniem jest jednoczesne wykonywanie zdjęć z dwóch miejsc, umożliwiające tworzenie zdjęć stereoskopowych (3D)^[4].

W przypadku kolonizacji Marsa bezpośrednia łączność może zostać zablokowana na około 2 tygodnie w ciągu każdego okresu synodycznego, na czas trwania koniunkcji, gdy Słońce znajduje się pomiędzy Marsem a Ziemią^[5]. Satelita komunikacyjny znajdujący się w punkcie L₄ lub L₅ może służyć jako pośrednik w takiej sytuacji.

Zobacz też

• księżyce Kordylewskiego
• libracja
• powierzchnia Roche’a
• strefa Hilla
• trojańczycy

Przypisy

Linki zewnętrzne

• Wyznaczenie położenia punktów