Bertrand Russell

Antynomia Russella lub paradoks Russella – sprzeczność wykryta w naiwnej teorii mnogości przez Bertranda Russella w 1901 roku. Sprzeczność ta stanowiła duży cios dla rozwoju logicyzmu, będącego próbą aksjomatyzacji matematyki, zgodnie z którym wszystkie obiekty matematyczne powinny dać się wyrazić jako zbiory. Obserwacje dokonane przez Russella zmusiły matematyków do rewizji tego fundamentalnego stanowiska i następnie przyjęcia, że istnieją obiekty niebędące zbiorami, opisywane formułami logicznymi – nazywa się je klasami właściwymi. Paradoks ten wynika z autoreferencji, czyli odwoływania się do samego siebie, i ma charakter podobny do takich paradoksów jak paradoks zbioru wszystkich zbiorów, paradoks kłamcy czy paradoks Berry’ego; por. twierdzenia Gödla i problem stopu.

Paradoks

Niech ${\displaystyle V}$ oznacza zbiór zawierający wszystkie takie zbiory ${\displaystyle X,}$ dla których ${\displaystyle X}$ nie jest elementem ${\displaystyle X,}$ tj.

${\displaystyle V=\{X:X\notin X\}.}$

Postawmy pytanie, czy ${\displaystyle V}$ jest swoim elementem, czy nie.

• Jeśli przypuścimy, że ${\displaystyle V}$ jest elementem ${\displaystyle V,}$ to ${\displaystyle V}$ nie spełnia definicji zbioru ${\displaystyle V,}$ a więc nie jest elementem ${\displaystyle V,}$
• jeśli zaś ${\displaystyle V}$ nie jest elementem ${\displaystyle V,}$ to ${\displaystyle V}$ musi być elementem ${\displaystyle V}$ na mocy definicji tego zbioru^[1].

Prowadzi do sprzeczności:

${\displaystyle V\notin V\iff V\in V.}$

Anegdotyczne wersje paradoksu

Anegdotyczne sformułowanie antynomii Russella nosi nazwę „paradoksu fryzjera” lub „paradoksu golibrody”^[2]:

Fryzjer, mieszkaniec pewnego miasta, goli tych jego mieszkańców, którzy sami się nie golą. Czy fryzjer goli się sam?

John D. Barrow w swojej książce Pi razy drzwi używa postaci cyrulika sewilskiego: „Cyrulik sewilski goli w Sewilli wszystkich tych i tylko tych, którzy nie golą się sami. Czy cyrulik goli się sam?”. Inne sformułowanie tego paradoksu dotyczy ciotki, która lubi tych, co siebie nie lubią i nie lubi tych, co siebie lubią. Odpowiedź na pytanie, czy ciotka lubi siebie prowadzi do paradoksalnej konkluzji, że ciotka lubi siebie wtedy i tylko wtedy, gdy siebie nie lubi.

Próby rozwiązania paradoksu

Rozważmy zbiór ${\displaystyle X,}$ którego elementy wskazane zostaną za pomocą tzw. funkcji charakterystycznej ${\displaystyle \chi _{A},}$ która przyjmuje dla danego elementu ${\displaystyle x}$ wartość ${\displaystyle 1,}$ gdy ${\displaystyle x}$ należy do ${\displaystyle X,}$ oraz wartość ${\displaystyle 0,}$ gdy ${\displaystyle x}$ nie należy do ${\displaystyle X.}$ Wykorzystując ten sposób patrzenia na zbiory mężczyzn w mieście, można przypisać do zbioru ${\displaystyle S}$ tych z nich, którzy golą się sami, albo do zbioru ${\displaystyle G}$ tych mężczyzn, którzy korzystają w tym względzie z usług golibrody. Do którego z nich należy sam golibroda? Dla dowolnego golącego się mężczyzny ${\displaystyle m}$ prawdą jest, że ${\displaystyle \chi _{S}(m)+\chi _{G}(m)=1,}$ tzn. mężczyzna jest golony (goli się sam albo goli go golibroda). Można się zgodzić, iż golibroda ${\displaystyle g}$ w takim samym stopniu należy do tych, którzy golą się sami, jak i do tych, których goli golibroda, tzn. ${\displaystyle \chi _{S}(g)=\chi _{G}(g).}$ Z równości tych wynika wtedy ${\displaystyle \chi _{S}(g)=\chi _{G}(g)={\tfrac {1}{2}}.}$ Paradoks ten można więc rozwiązać wprowadzając pośredni, ułamkowy stopień „należenia” do zbioru, które sformalizowano w postaci tzw. zbiorów rozmytych (por. logika trójwartościowa i logika wielowartościowa).

Zobacz też

• definicja niepredykatywna
• paradoks Richarda

Przypisy

Linki zewnętrzne

Polskojęzyczne

• Jerzy Dadaczyński: Antynomie teoriomnogościowe a powstanie klasycznych kierunków badania podstaw matematyki. www.obi.opoka.org.pl.

Anglojęzyczne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Russell's Antinomy, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2024-03-07].
• Andrew DavidA.D. Irvine Andrew DavidA.D., HarryH. Deutsch HarryH., Russell’s Paradox, [w:] Stanford Encyclopedia of Philosophy, CSLI, Stanford University, 9 października 2016, ISSN 1095-5054 [dostęp 2018-01-28]  (ang.). (Paradoks Russella)
• Kevin C.K.C. Klement Kevin C.K.C., Russell’s Paradox, Internet Encyclopedia of Philosophy, ISSN 2161-0002 [dostęp 2018-06-27]  (ang.).