Następnik liczby porządkowej – najmniejsza liczba porządkowa większa niż ${\displaystyle \alpha .}$ Liczbę, która jest następnikiem pewnej liczby porządkowej, nazywa się liczbą następnikową. Każda liczba porządkowa różna od ${\displaystyle 0}$ jest albo liczbą następnikową, albo graniczną liczbą porządkową.

Używając liczb porządkowych von Neumanna (standardowego modelu używanego obecnie w teorii mnogości), następnikiem liczby porządkowej ${\displaystyle \alpha }$ jest ${\displaystyle S(\alpha )}$ dana wzorem:

${\displaystyle S(\alpha )=\alpha \cup \{\alpha \}.}$

Zastosowanie

Następnik liczby porządkowej jest podstawową operacją przeprowadzaną na liczbach porządkowych. Najbardziej znanym jej zastosowaniem jest konstrukcja zbiorów induktywnych, np. zbioru liczb naturalnych w konstrukcji von Neumanna.

Używając operacji następnika, można zdefiniować arytmetykę liczb porządkowych, na przykład dodawanie, przez indukcję pozaskończoną:

${\displaystyle \alpha +0=\alpha ,}$

${\displaystyle \alpha +S(\beta )=S(\alpha +\beta )}$

i dla granicznej liczby porządkowej λ

${\displaystyle \alpha +\lambda =\bigcup _{\beta <\lambda }(\alpha +\beta ).}$

W szczególności, ${\displaystyle S(\alpha )=\alpha +1.}$ Podobnie definiuje się mnożenie i potęgowanie.

Punkty następnikowe i zero są punktami skupienia klasy liczb porządkowych, w odniesieniu do topologii porządkowej.

Uwaga:

Nie każda liczba porządkowa jest następnikowa. Liczby niemające tej własności nazywamy granicznymi liczbami porządkowymi (nie mylić z granicznymi liczbami kardynalnymi).

Własności

• Nie istnieje żadna liczba porządkowa pomiędzy ${\displaystyle \alpha }$ i ${\displaystyle S(\alpha ),}$

${\displaystyle \alpha <S(\alpha ).}$

• Jeśli ${\displaystyle \alpha \in S(\alpha ),}$ to ${\displaystyle \alpha \subset S(\alpha )}$ (zob. zbiór przechodni).

Przykłady

• ${\displaystyle S(\varnothing )=\{\varnothing \}}$ (tu: ${\displaystyle \varnothing =0}$)
• ${\displaystyle S\left(\{\varnothing \}\right)=\left\{\varnothing ,\{\varnothing \}\right\},}$
• ${\displaystyle S\left(\left\{\varnothing ,\{\varnothing \}\right\}\right)=\left\{\varnothing ,\{\varnothing \},\left\{\varnothing ,\{\varnothing \}\right\}\right\}.}$

Zobacz też

• aksjomaty i konstrukcje liczb
• arytmetyka liczb porządkowych
• liczba epsilonowa
• paradoks Buralego-Fortiego
• zbiór potęgowy

Bibliografia

• Aleksander Błaszczyk, Sławomir Turek: Teoria Mnogości. Warszawa: PWN, 2007.brak strony w książce
• Wacław Sierpiński: Cardinal and ordinal numbers. Wyd. drugie poprawione. Warszawa: PWN, 1965.brak strony w książce