Miary wzajemnie osobliwe – określone na tej samej przestrzeni mierzalnej miary, które są skupione na rozłącznych podzbiorach przestrzeni. Miarę borelowską na przestrzeni euklidesowej nazywa się osobliwą, gdy jest osobliwa względem miary Lebesgue’a.
Pojęcie wzajemnej osobliwości rozważa się także dla miar ze znakiem, miar zespolonych czy miar wektorowych.
Definicja
Niech będzie przestrzenią mierzalną oraz niech i będą miarami na tej przestrzeni. Miary te są wzajemnie osobliwe, co oznacza się gdy
- istnieje rozbicie przestrzeni na dwa niepuste zbiory
oraz
- zeruje się na wszystkich mierzalnych podzbiorach podczas gdy zeruje się na wszystkich podzbiorach mierzalnych
Ponieważ zawiera nośnik miary a zawiera nośnik miary to powyższą definicję można wyrazić równoważnie w następujący sposób: miary i są wzajemnie osobliwe, jeżeli mają one rozłączne nośniki.
Przykłady
- Delta Diraca skupiona w punkcie przestrzeni Euklidesowej jest osobliwa (względem miary Lebesgue’a).
- Rozkład Cantora ma ciągłą (ale nie bezwzględnie) dystrybuantę, tj. funkcję Cantora. Mimo ciągłości dystrybuanty rozkład Cantora jest osobliwy względem miary Lebesgue’a.
Bibliografia
- Vladimir I. Bogachev: Measure theory. T. 1. Springer, 2007. ISBN 978-3-540-34513-8.
- Eric W. Weisstein: CRC Concise Encyclopedia of Mathematics. CRC Press, 2002. ISBN 1-58488-347-2.
- John C. Taylor: An Introduction to Measure and Probability. Springer, 1996. ISBN 0-387-94830-9.
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.