Macierz podstawowa ${\displaystyle \varphi (t)=e^{At}}$ ma następujące własności:

${\displaystyle {\frac {d\varphi (t)}{dt}}=A\varphi (t),}$

${\displaystyle \varphi (0)=I,}$

gdzie ${\displaystyle I}$ to macierz jednostkowa.

Macierz podstawową wykorzystuje się do rozwiązywania liniowych układów różniczkowych. Jest kilka metod wyznaczania macierzy podstawowej układu, m.in.:

• metoda wzoru Sylvestra,
• metoda odwrotnego przekształcenia Laplace’a,
• metoda diagonalizacji macierzy (wektorów własnych).

Wyznaczenie macierzy podstawowej ${\displaystyle \varphi (t)=e^{At}}$ metodą odwrotnego przekształcenia Laplace’a, polega na rozwiązaniu równania:

${\displaystyle e^{At}={\mathcal {L}}^{-1}([sI-A]^{-1}),}$

gdzie:

${\displaystyle {\mathcal {L}}^{-1}}$ – odwrotna transformata Laplace’a,

${\displaystyle I}$ – macierz jednostkowa,

${\displaystyle A}$ – macierz/parametr z równania różniczkowego o postaci ${\displaystyle {\frac {dx(t)}{dt}}=Ax(t).}$

Zobacz też

• eksponenta macierzy
• macierz przejścia (automatyka)