Kolejność wykonywania działań (w terminologii uniwersyteckiej: reguły opuszczania nawiasów w celu skracania zapisu) – zbiór zasad określających, które działania mają być wykonane jako pierwsze w celu określenia wartości danego wyrażenia arytmetycznego.

W teoretycznych rozważaniach używa się określenia: reguły syntaktyczne, jako że dotyczą formalnych reguł przekształcania wyrażeń zbudowanych ze znaków.

Działania w wyrażeniach bez nawiasów

Działania w wyrażeniach z nawiasami

Ogólną wytyczną obliczenia wartości wyrażenia arytmetycznego, w którym występują nawiasy, jest to, że zaczyna się od działań w nawiasach najbardziej wewnętrznych, tj. tych, w których nie ma już innych nawiasów. Odpowiada to stwierdzeniu, że działania w nawiasach należy traktować jako oddzielne działania, które należy wykonać przed pozostającymi poza nawiasami.

Symbolami grupującymi podobnie jak nawiasy są: kreska ułamkowa i kreska („daszek”) pierwiastka w znaku ${\displaystyle {\sqrt {^{^{\;}}}},}$ a także wykładnik potęgi zapisywany w indeksie górnym; grupują one działania tak, jak gdyby tkwiły tam domyślne nawiasy, a mianowicie:

${\displaystyle u^{w}=u^{(w)},}$

${\displaystyle {\sqrt[{u}]{w}}={\sqrt[{(u)}]{(w)}},}$

${\displaystyle {\frac {u}{w}}={\frac {(u)}{(w)}},}$

gdzie ${\displaystyle u,w}$ są dowolnymi wyrażeniami, w których pojawiają się wymienione wyżej działania.

Możliwość pominięcia nawiasów wynika z tego, że działania zapisane według powyższej konwencji wyznaczają graficznie początek i koniec swoich argumentów. W zapisie „liniowym”, w którym działanie potęgi zapisuje znakiem ^, pierwiastek pojedynczym znakiem √ lub symbolem funkcyjnym „root” albo „sqrt”, dzielenie zapisuje się znakiem „/” lub „:”, nawiasów obejmujących odpowiednie wyrażenia nie można pomijać.

Istnienie domyślnych nawiasów powoduje m.in., że

• działania w wykładniku wykonuje się przed potęgowaniem:

${\displaystyle 4^{3^{2}}=4^{(3^{2})}=4^{9},\quad 4^{3\cdot 2}=4^{(3\cdot 2)}=4^{6},\quad 4^{3+2}=4^{(3+2)}=4^{5}.}$

• działania pod pierwiastkiem wykonuje się przed pierwiastkowaniem:

${\displaystyle {\sqrt {2\cdot 8}}={\sqrt {16}}=4,\quad {\sqrt {4+5}}={\sqrt {9}}=3.}$

• w ułamkach działania w liczniku i w mianowniku wykonuje się przed dzieleniem

${\displaystyle {\frac {15}{2+3}}={\frac {15}{(2+3)}}={\frac {15}{5}}=3,}$

Uwagi i uzupełnienia

Reguły kolejności działań dotyczą obliczania wartości danego wyrażenia arytmetycznego, nie są natomiast nakazem wykonywania obliczeń w tej właśnie kolejności, o ile można zastosować konkretne prawo arytmetyki. Na przykład mając wyrażenie ${\displaystyle (4+3)\cdot 8}$ nie musimy wykonywać podanego dodawania otrzymując ${\displaystyle 7\cdot 8,}$ ale można obliczać to w inny sposób, np. jako ${\displaystyle 4\cdot 8+3\cdot 8}$ (na mocy prawa rozdzielności mnożenia względem dodawania, pozornie wbrew regule pierwszeństwa działania w nawiasach).

W przypadku wyrażeń algebraicznych zawierających symbole literowe nie można mówić o obliczeniu wartości danego wyrażenia (dopóki nie podstawi się liczb w miejsce zmiennych), ani o kolejności wykonywania działań, bowiem np. w wyrażeniu ${\displaystyle a+b\times c}$ nie można wykonać żadnego z napisanych działań. Przy przekształcaniu wyrażeń algebraicznych wykorzystuje się, podobnie jak w arytmetyce, własności działań (przemienność, łączność, rozdzielność) i reguły takie jak:

${\displaystyle a-(b+c)=a-b-c,\quad a-(b-c)=a-b+c.}$

W wielu obliczeniach rolę znaku dzielenia pełni kreska ułamkowa zapisywana poziomo; wówczas kolejność działań wynika z reguł postępowania z ułamkami. W druku dla oszczędności miejsca kreska ułamkowa bywa zapisywana skośnie (slash /). Symbol typu ${\displaystyle a/b/c}$ odpowiada ułamkowi piętrowemu i w tym zapisie nie wiadomo, która kreska jest główna, toteż w takim przypadku nawias jest konieczny: ${\displaystyle a/(b/c)}$ bądź ${\displaystyle (a/b)/c.}$ Symbol typu ${\displaystyle a\cdot b/c}$ nie budzi wątpliwości (wynik nie zależy tu od kolejności), natomiast symbole ${\displaystyle a/b\cdot c}$ i ${\displaystyle a/bc}$ nie są jednoznaczne, ich interpretacja może zależeć od kontekstu, nie wiadomo, czy ma to być ułamek ${\displaystyle a/b}$ pomnożony przez ${\displaystyle c,}$ czy może w mianowniku jest iloczyn ${\displaystyle b\cdot c.}$ Tu również powinno się dać nawias, zwłaszcza w sytuacjach takich jak ${\displaystyle 1/x\sin x,}$ co można interpretować jako ${\displaystyle {\tfrac {1}{x\sin x}}}$ lub jako ${\displaystyle {\tfrac {1}{x}}\sin x.}$ Natomiast ${\displaystyle 1/2\pi }$ to ${\displaystyle {\tfrac {1}{2\pi }}=1/(2\pi ),}$ a nie ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\pi =(1/2)\pi =\pi /2.}$

Ponadto pewne redakcje (m.in. „Physical Review”) mają swoje preferencje i wymagają ich od autorów^[3].

Reguły kolejności wykonywania działań nie obejmują przekształceń wyrażeń zawierających symbole niealgebraiczne. W przypadku funkcji (np. logarytm, sinus) zalecane jest używanie nawiasów we wszystkich dwuznacznych sytuacjach. Istnieją jednak pewne tradycje, na przykład w wyrażeniu ${\displaystyle \sin 2x}$ najpierw wykonuje się mnożenie, a potem wyznacza sinus; natomiast w wyrażeniu ${\displaystyle \sin x\sin y}$ najpierw wykonuje się wyznaczenie obydwu sinusów, a następnie mnożenie. Ponadto ${\displaystyle \sin ^{2}x=(\sin x)^{2},}$ ${\displaystyle \sin x^{2}=\sin(x^{2}).}$

Symbole operatorów (działań) jednoargumentowych w rodzaju: silnia !, procent %, stopień °, znaki pochodnych prim ${\displaystyle '}$ i bis ${\displaystyle ''}$ działają z takim priorytetem jak wykładnik potęgi; nie ma tu reguł opuszczania nawiasów, toteż przy wyrażeniach złożonych wszystkie nawiasy powinny być wyraźnie wstawiane.

Odstępstwa od reguł w programach komputerowych

Reguły zapisu wyrażeń nakazują pisanie znaku minus i plus w nawiasie z wyjątkiem występowania na początku wyrażenia, ale nie ma ogólnie przyjętej, jednolitej, prostej zasady dotyczącej kolejności działań we wszystkich pojawiających się sytuacjach, ponadto sytuację komplikują jeszcze wyjątki pojawiające się na styku matematyki i informatyki^{[uwaga 3][4]}.

Programy Microsoft, w tym kalkulatory i arkusz kalkulacyjny Microsoft Excel traktują znak minus jako silniej wiążący niż mnożenie i potęgowanie, i tak -3^2 = (-3)^2 = 9, a liczbę (operand) może poprzedzać dowolna liczba minusów i plusów bez nawiasów i mogą być rozdzielone spacjami 4--+- -3 jest poprawnym wyrażeniem. Nie jest stosowana też reguła wiązania potęgi od prawej do lewej, gdyż 4^2^3 = (4^2)^3. Programy innych producentów np. kalkulator HEXelon Max, LibreOffice Calc, OpenOffice Calc zachowują zgodność z programami Microsoftu.

Znane są przypadki, gdy kalkulatory sprzętowe tego samego producenta, ale różnych modeli wykonują ww. operacje różnie, np. kalkulatory Texas Instruments TI-92 i TI-30XII – pierwszy wylicza 4^2^3 jako 4^(2^3), a drugi jako (4^2)^3.

Zobacz też

• operator (programowanie)

Uwagi

Przypisy

Bibliografia

• Zbigniew Semadeni: O kolejności wykonywania działań równorzędnych, Matematyka. Czasopismo dla nauczycieli, zeszyt 6/2007, s. 337–342. [w:] Nauczanie matematyki [on-line]. 6/2007. [dostęp 2008-06-25].