Kariera juniorska

Startując jeszcze w turniejach juniorów Czech zwyciężył w 2011 roku podczas Australian Open, zarówno w grze pojedynczej chłopców, jak i grze podwójnej chłopców. W finale singla pokonał Luke’a Saville’a 6:0, 6:3, a w deblu parę Ben Wagland–Andrew Whittington 6:4, 6:4. Partnerem Czecha był wówczas Filip Horanský. Ponadto Veselý osiągnął finał młodzieżowego US Open z 2010 roku w grze podwójnej oraz w 2011 roku podczas Wimbledonu. W 2011 roku awansował również do finału US Open w grze pojedynczej chłopców. Najwyżej w klasyfikacji singlowej juniorów był na 1. miejscu 3 stycznia 2011 roku.

Kariera zawodowa

W gronie zawodowców Veselý w zawodach wielkoszlemowych zadebiutował podczas Rolanda Garrosa z 2013 roku, przechodząc najpierw eliminacje. W 1. rundzie turnieju głównego przegrał z Philippem Kohlschreiberem. W tym samym sezonie, w lutym zadebiutował w reprezentacji Czech w Pucharze Davisa.

W październiku 2014 roku wygrał zawody ATP World Tour w Moskwie w grze podwójnej, wspólnie z Františkiem Čermákiem.

W styczniu 2015 roku Czech zwyciężył w pierwszym w karierze turnieju singlowym – w Auckland pokonał w finale Adriana Mannarino 6:3, 6:2. W kwietniu zanotował finał rozgrywek w Bukareszcie, ulegając w nim Guillermo Garcíí Lópezowi w dwóch setach zakończonych tie-breakami.

Drugi singlowy tytuł Veselý zdobył w lutym 2020, w Pune pokonując w ostatnim meczu Jahora Hierasimau.

W rankingu gry pojedynczej Veselý najwyżej był na 35. miejscu (27 kwietnia 2015), a w klasyfikacji gry podwójnej na 94. pozycji (8 czerwca 2015).

Finały w turniejach ATP Tour

Legenda
Wielki Szlem
Igrzyska olimpijskie
Tennis Masters Cup / ATP Finals
ATP Masters Series / ATP Tour Masters 1000
ATP International Series Gold / ATP Tour 500
ATP International Series / ATP Tour 250

Gra pojedyncza (2–1)

Końcowy wynik	Nr	Data	Turniej	Nawierzchnia	Przeciwnik	Wynik finału
Zwycięzca	1.	17 stycznia 2015	Auckland	Twarda	Adrian Mannarino	6:3, 6:2
Finalista	1.	26 kwietnia 2015	Bukareszt	Ceglana	Guillermo García-López	6:7(5), 6:7(11)
Zwycięzca	2.	9 lutego 2020	Pune	Twarda	Jahor Hierasimau	7:6(2), 5:7, 6:3

Gra podwójna (2–1)

Końcowy wynik	Nr	Data	Turniej	Nawierzchnia	Partner	Przeciwnicy	Wynik finału
Zwycięzca	1.	19 października 2014	Moskwa	Twarda (hala)	František Čermák	Sam Groth Chris Guccione	7:6(2), 7:5
Zwycięzca	2.	7 maja 2017	Stambuł	Ceglana	Roman Jebavý	Tuna Altuna Alessandro Motti	6:0, 6:0
Finalista	1.	21 lipca 2018	Umag	Ceglana	Roman Jebavý	Robin Haase Matwé Middelkoop	4:6, 4:6