Iloczyn diadyczny – to iloczyn wektora (kolumnowego) z wektorem (wierszowym) tego samego wymiaru, dający tensor 2-go rzędu, np.
Iloczyn diadyczny jest szczególnym przypadkiem iloczynu tensorowego wektorów (gdzie wymiary wektorów nie muszą być równe, a wektory mogą być dowolnego typu, np. 2 wektory kolumnowe lub 2 wierszowe) lub ogólniej – iloczynu tensorowego macierzy.
Definicja ogólna
Jeżeli dane są:
(1) baza wektorów kolumnowych przestrzeni wektorowej
(2) odpowiadająca jej baza wektorów wierszowych
(3) wektory zapisane w tych bazach
to iloczyn diadyczny ma postać
gdzie – macierz wymiaru której element a pozostałe elementy są równe zeru. Macierze te stanowią bazę tensora, tzn. dowolny tensor rzędu 2-go można wyrazić jako kombinację liniową tych macierzy bazowych.
Np. dla przestrzeni wektorowej 3-wymiarowej mamy 9 macierzy np.
Twierdzenie o śladzie iloczynu diadycznego
Dowodzi się, że w ogólności słuszne jest twierdzenie
Tw. Ślad iloczynu diadycznego wektorów jest równy ich iloczynowi skalarnemu
Przykład: Niech będą dane wektory
Ich iloczyn diadyczny wynosi
oraz ślad macierzy wynosi
– i jest on równy iloczynowi skalarnemu wektorów gdyż
Nieprzemienność iloczynu diadycznego
Przykład: Niech będą dane wektory
Ich iloczyn diadyczny wynosi
Porównując powyższy wynik z iloczynem diadycznym z wcześniejszego rozdziału, widać, że iloczyn diadyczny nie jest przemienny
Tylko w szczególnych przypadkach może zachodzić przemienność iloczynu diadycznego.
Zobacz też
- iloczyn tensorowy (iloczyn Kroneckera)
- iloczyn tensorowy przestrzeni Hilberta
- tensor
Bibliografia
- Guściora H., Sadowski M., Repetytorium z algebry liniowej, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1979.