Dysjunkcyjna postać normalna (ang. disjunctive normal form, DNF) formuły logicznej – formuła zapisana w postaci dysjunkcji (alternatywy) klauzul dualnych.
Na przykład dysjunkcyjną postacią normalną wyrażenia jest
Każde wyrażenie logiczne ma dysjunkcyjną postać normalną.
Definicja formalna
Formuła φ jest w dysjunktywnej postaci normalnej jeśli jest ona alternatywą klauzul, z których każda jest koniunkcją literałów, tzn. ma następującą postać
gdzie każde jest literałem.
Problem znajdowania wartościowania
Problem znajdowania wartościowania spełniającego formuły w postaci DNF jest problemem łatwym, tzn. istnieje algorytm wielomianowy rozwiązujący ów problem. Jeśli bowiem jest choć jedna klauzula dualna, która nie zawiera ani fałszu ani jednocześnie pewnej zmiennej i jej negacji, możemy wszystkim wystąpieniom pozytywnym przyporządkować prawdę, negatywnym zaś fałsz, przez co ta klauzula dualna będzie spełniona, a zatem i cały DNF.
Jeśli natomiast każda klauzula dualna zawiera albo fałsz (a więc jest fałszywa), albo jednocześnie zmienną i jej zaprzeczenie (z których przynajmniej jedno musi być fałszywe), to oznacza to, że nie jest ona spełnialna.
Przykład algorytmu wielomianowego znajdującego wartościowanie formuły podanej w postaci DNF podany jest poniżej.
Podobny problem, znajdowania wartościowania formuły w koniunkcyjnej postaci normalnej jest NP-zupełny.
Wielomianowy algorytm znajdujący wartościowanie spełniające
Przyjmijmy następujące założenia co do wejścia i wyjścia algorytmu:
- formuła φ podana na wejściu jest zbiorem klauzul,
- każda klauzula jest zbiorem literałów,
- algorytm zwraca zbiór zmiennych, którym należy nadać wartość true (pozostałym zmiennym należy nadać wartość false) aby formuła φ była spełniona jeśli formuła jest spełnialna, w przeciwnym przypadku zwraca specjalną wartość nil.
foreach begin ok := true; foreach foreach if then ok := false; if ok then begin T := ; foreach if aj jest niezanegowaną zmienną xl then T := ; return T; end end return nil;
Algorytm dla każdej klauzuli sprawdza czy jest ona niesprzeczna. Gdy znajdzie niesprzeczną klauzulę zwraca zbiór zmiennych, które w niej występują jako literały bez negacji. Można łatwo sprawdzić, że algorytm ten ma złożoność czasową nie gorszą niż O(n²), gdzie n to liczba literałów w formule φ.
Algorytm ten nie może posłużyć do rozwiązania NP-zupełnego problemu spełnialnosci formuł w postaci CNF ponieważ w ogólnym przypadku rozmiar formuły przy przekształcaniu jej z postaci CNF do DNF może wzrosnąć wykładniczo.