Bieguny funkcji Gamma

Biegun funkcji meromorficznej ${\displaystyle f(z)}$ – taki punkt osobliwy tej funkcji ${\displaystyle z=a,}$ w którego otoczeniu ${\displaystyle f(z)}$ nie jest ograniczona, a ponadto:

${\displaystyle \lim \limits _{z\to a}f(z)=\infty .}$

Dodatkowo, biegun ten jest rzędu ${\displaystyle k}$ jeśli część osobliwa rozwinięcia w szereg Laurenta wokół punktu ${\displaystyle a}$ składa się z ${\displaystyle k}$ wyrazów (jeśli jest nieskończona to punkt ${\displaystyle a}$ jest punktem istotnie osobliwym).

Podstawowe własności

Jeśli punkt ${\displaystyle a}$ jest biegunem ${\displaystyle m}$-krotnym funkcji ${\displaystyle f(z)}$ to funkcja

${\displaystyle g(z)={\frac {1}{f(z)}}}$

jest również meromorficzna i w punkcie ${\displaystyle a}$ posiada zero ${\displaystyle m}$-krotne. Również odwrotnie: jeśli punkt ${\displaystyle a}$ jest zerem ${\displaystyle m}$-krotnym funkcji ${\displaystyle f(z)}$ to funkcja ${\displaystyle g(z)}$ w punkcie ${\displaystyle a}$ posiada biegun ${\displaystyle m}$-krotny.

Przykłady

• Funkcja

${\displaystyle f(z)={\frac {1}{2-z}}+{\frac {1}{(z-1)^{2}}}}$

w punkcie ${\displaystyle z=1}$ ma biegun rzędu 2, natomiast w punkcie ${\displaystyle z=2}$ ma biegun jednokrotny.

• Funkcja

${\displaystyle f(z)=\operatorname {tg} (z)}$

w punktach ${\displaystyle z=\pi (k-{\tfrac {1}{2}})}$ ma bieguny rzędu 1.