Działania na ułamkach

Dla każdego ${\displaystyle c\neq 0}$ ułamek ${\displaystyle {\tfrac {a}{b}}}$ jest równy ${\displaystyle {\tfrac {ac}{bc}}.}$ Operację zamiany ${\displaystyle {\tfrac {a}{b}}}$ na ${\displaystyle {\tfrac {ac}{bc}}}$ nazywa się rozszerzeniem ułamka, odwrotną zaś skróceniem ułamka.

Mnożenie i dzielenie wykonuje się wg wzorów:S

${\displaystyle {\frac {a}{b}}\cdot {\frac {c}{d}}={\frac {ac}{bd}},\quad {}}$ na przykład: ${\displaystyle {\frac {2}{9}}\cdot {\frac {4}{5}}={\frac {8}{45}}}$

${\displaystyle {\frac {a}{b}}:{\frac {c}{d}}={\frac {ad}{bc}}.}$

Przedstawienie liczby ${\displaystyle k}$ w postaci ułamka ${\displaystyle {\tfrac {k}{1}}}$ prowadzi do wzorów:

${\displaystyle {\frac {a}{b}}\cdot k={\frac {ak}{b}},}$

${\displaystyle {\frac {a}{b}}:k={\frac {a}{bk}}.}$

Aby dodać lub odjąć od siebie ułamki o identycznych mianownikach należy skorzystać z następujących wzorów:

${\displaystyle {\frac {a}{m}}+{\frac {b}{m}}={\frac {a+b}{m}},\qquad {\frac {a}{m}}-{\frac {b}{m}}={\frac {a-b}{m}}.}$

Jeżeli mianowniki są różne, należy uprzednio sprowadzić je do wspólnego mianownika, co polega na takim rozszerzeniu ułamków, aby ich mianowniki zrównały się. Prawdziwe są wzory:

${\displaystyle {\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}={\frac {ad+bc}{bd}},\qquad {\frac {a}{b}}-{\frac {c}{d}}={\frac {ad-bc}{bd}}.}$

Liczba ${\displaystyle bd}$ może zawsze pełnić rolę wspólnego mianownika, jednak często warto jest poszukać mniejszych wartości, najmniejszą możliwą jest najmniejsza wspólna wielokrotność liczb ${\displaystyle b}$ i ${\displaystyle d.}$

Aby sprowadzić ułamek do postaci nieskracalnej, należy podzielić zarówno licznik, jak i mianownik ułamka przez jak najwyższą możliwą liczbę (musi być taka sama!), np.:

${\displaystyle {\frac {450}{3150}}={\frac {450:50}{3150:50}}={\frac {9}{63}}={\frac {9:9}{63:9}}={\frac {1}{7}}}$

Wzór:

${\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {a:c}{b:c}}={\frac {d}{e}}={\frac {d:f}{e:f}}={\frac {g}{h}}}$ lub można skrócić na ${\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {a:c}{b:c}}={\frac {d}{e}},}$ gdzie ${\displaystyle b\neq 0,}$ ${\displaystyle c\neq 0,}$ ${\displaystyle e\neq 0,}$ ${\displaystyle f\neq 0}$ oraz ${\displaystyle h\neq 0.}$

Ułamek jest w postaci nieskracalnej, jeżeli licznik i mianownik nie mają wspólnych liczb, przez które można podzielić zarówno licznik, jak i mianownik bez reszty (nie licząc 1) lub ma postać ${\displaystyle {\frac {1}{a}},}$ gdzie ${\displaystyle a\neq 0.}$

Przykład: Ułamek ${\displaystyle {\frac {9}{40}}}$ jest nieskracalny, ponieważ 9 jest podzielne przez 1, 3, 9, a mianownika nie można bez reszty podzielić przez ani 3, ani 9, a dzielenie przez 1 nie zmienia ułamka.

Ułamki często wykorzystywane są do obliczania stóp procentowych, gdzie stopa procentowa wyrażana jest jako ułamek^[4], na przykład 5% to ${\displaystyle {\tfrac {5}{100}}}$

Przykład: Obliczenie rocznych odsetek z lokaty 1000 zł przy stopie 5%: Odsetki = 1000 zł × ​${\displaystyle {\tfrac {5}{100}}}$ = 50 zł

Istotność założenia całkowitości pierścienia

Jeżeli pierścień przemienny ma dzielniki zera, to nie można skonstruować na nim ciała ułamków: jeśli ${\displaystyle xy=0}$ dla niezerowych ${\displaystyle x,y\in P,}$ to

${\displaystyle [1,1]\sim [x,x]=[x,1]\cdot [1,x]\sim [xy,y]\cdot [1,x]=[0,y]\cdot [1,x]\sim [0,1]\cdot [1,x]=[0,x]\sim [0,1],}$

czyli

${\displaystyle [1,1]\sim [0,1],}$

stąd zaś dla dowolnego

${\displaystyle [a,b]=[a,b]\cdot [1,1]\sim [a,b]\cdot [0,1]=[0,b]\sim [0,1],}$

więc jest tylko jedna klasa abstrakcji – klasa ${\displaystyle [0,1],}$ a z definicji ciało ma przynajmniej dwa różne elementy.

Dla pierścieni nieprzemiennych tworzenie ułamków bardzo się komplikuje.